Stata：双栏模型简介-(Double-hurdle-model)

发布时间：2020-10-09 阅读 171

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编译：李琼琼 (山东大学)
邮箱：lqqflora@163.com

本文主要翻译自如下论文，并进行了适当的补充和调整.
Source： Engel C, Moffatt P G. Dhreg, xtdhreg, and bootdhreg: Commands to implement double-hurdle regression[J]. Stata Journal, 2014, 14(4):778-797. -PDF-

0. 背景介绍

双栏模型 (Double-hurdle model) 是由 Cragg (1971) 提出的：对于一个活动的参与，个体决策是由两部分组成的。第一个门槛 (hurdle), 决定个体是否是零类型；第二个门槛 (hurdle) 是在第一个阶段是非零的条件下，决定个体对活动的参与程度。这个模型的关键特征是这里有两种类型的零观测值，一种是无周围的环境如何变化他的选择都是零，另一种是他可以有非零选择但是目前的环境导致他选择零，后者也被称为归并零 (Tobin,1958)。

以个人捐款为例，可以分为两个选择行为：

S1：是否捐钱？ 这属于「意愿」问题，取决于个人的年龄、性格、宗教信仰等因素。
S2：捐多少钱？ 这属于「能力」问题，取决于可支配收入、财富水平等因素。

例如，如果一个人不喜欢帮助别人，自然不会做出捐赠的决定，那么即使其个人收入很高而导致的潜在捐出金额高，但最终表现出来的捐赠的金额却是 0。如果个人非常热爱帮助别人，但是身上没有带现金，最终也会表现不捐赠的行为。

虽然上面两种情况表面上是一样的，但要注意，第一种类型的人不会因为收入或者持有的现金金额变多而进行捐款，而第二种类型的人，如果身上持有现金则会进行捐款，并且捐赠的金额会随着收入和现金的变化而发生改变。

归并回归 (Tobit) 模型更多地是对第二种类型的行为做出研究，而双栏模型可以很好地解释两种类型的行为。双栏模型除了包括自然的零类型外，还允许零的概率由观测值的个体决定的。本质上，Double-hurdle 模型是 Tobit 模型的延续。

本文主要分三部分内容对双栏模型进行介绍：

1 双栏模型介绍
2 模型的实现
3 面板双栏模型

1. 双栏模型 (Double-hurdle model) 介绍

介绍双栏模型最自然的开始是先介绍 Tobit 模型，再来引入双栏模型。

1.1 Tobit 模型

Tobit 模型又被称为归并回归模型 (censored regression model)，根据 limit 的设置分为左归并 (lower censoring) 和右归并 (upper censoring)，左归并指事先设置一个最小值 A，当被解释变量低于这个值时则自动等于 A。如果最低的 limit 为 0 时，被称为零归并 (zero censoring)。

\begin{aligned} y_{i}^{*} & = x_{i}^{'} β + ε_{i} \\ ε_{i} & \sim N (0, σ^{2}) \end{aligned}

上面的公式中潜变量 $y_{i}^{*}$ (最终无法直接被看到）代表个体 $i$ 希望做出的贡献 (latent contribution)，这个潜在贡献可以为负值，但是试验规则认为只要为负值最终的贡献都归为 0 (规则如下）：

y_{i} = {\begin{array}{cl} y_{i}^{*} & if y_{i}^{*} > 0 \\ 0 & if y_{i}^{*} ⩽ 0 \end{array}

这里以零归并举例，采用对数似然函数，估计模型如下：

\log L = \sum_{i = 1}^{n} [I_{y_{i} = 0} \ln {Φ (- \frac{x_{i}^{'} β}{σ})} + I_{y_{i} > 0} \ln {\frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})}]

其中 $I$ 为示性函数，当下标所表示的条件正确时取值为 1，否则为 0。通过使 $\log L$ 最大化来求出 $β$ 和 $σ$ 。

1.2 Double - hurdle 模型

Double - hurdle 模型有两个阶段，这两个阶段分别采用 probit 估计和 tobit 估计：

\begin{aligned} d_{i}^{*} & = z_{i}^{'} α + ε_{1, i} \\ y_{i}^{* *} & = x_{i}^{'} β + ε_{2, i} \\ (\begin{array}{c} ε_{1, i} \\ ε_{2, i} \end{array}) & \sim N [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & σ^{2} \end{array})] \end{aligned}

在第一个阶段 (hurdle)，被解释变量 ( $d_{i}$ ) 是二元变量,由潜变量 $d_{i}^{*}$ 决定。

d_{i} = {\begin{array}{cl} d_{i}^{*} & if d_{i}^{*} > 0 \\ 0 & if d_{i}^{*} ⩽ 0 \end{array}

在第二个阶段 (hurdle), 被解释变量 $y_{i}^{*}$ 是零或者正数，非常像 Tobit 模型 (Ⅰ)。 $y_{i}^{*} = max (y_{i}^{* *}, 0)$ 双栏模型对数似然函数为：

\log L = \sum_{0} \ln {1 - Φ (z_{i}^{'} α) Φ (\frac{x_{i}^{'} β}{σ})} + \sum_{+} \ln {Φ (z_{i}^{'} α) \frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})}

上式中，双栏模型的第二个阶段给 $y_{i}^{*}$ 设置了最小值 0 ，当然也可以将最小值设置为其他数 $y_{m i n}$ , 都被称为 lower hurdle。若最小值为 $y_{m i n}$ ，对数似然函数的变为：

\log L = \sum_{m i n} \ln {1 - Φ (z_{i}^{'} α) Φ (\frac{x_{i}^{'} β - y_{m i n}}{σ})} + \sum_{+} \ln {Φ (z_{i}^{'} α) \frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})}

若双栏模型是 upper hurdle 型，即第二个阶段设置一个最大值 $y_{m a x}$ ，所有超过 $y_{m a x}$ 的值都等于 $y_{m a x}$ ，小于 $y_{m a x}$ 的值则不改变，那么此时模型变为：

\log L = \sum_{m a x} \ln {1 - Φ (z_{i}^{'} α) Φ (\frac{y_{m a x} - x_{i}^{'} β}{σ})} + \sum_{+} \ln {Φ (z_{i}^{'} α) \frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})}

1.3 用图形解释 double hurdle 模型

上图中的的同心圆是 $d^{*}$ 和 $y^{* *}$ 的联合分布，这个同心圆是以 $(z_{i}^{'} α$ , $x_{i}^{'} β)$ 为中心并根据解释变量的变动进行移动。在第二、三象限，由于 $d^{*}$ 小于 0， $y$ 一直为 0，表现为个体永远不会 contribute；在第四象限， $d^{*}$ 大于 0, 但是 $y^{* *}$ 小于 0，所以 $y$ 暂时为 0，会随着 $x$ 变量的变动的而可能大于 0；在第一象限， $y$ 为正数，个体实际做了 contribution。

1.4 Double - hurdle 模型的特殊形式

如果模型第一阶段，只有截距而没有解释变量， $Φ (z_{i}^{'} α) = Φ (α_{0})$ , 则对数似然函数变为：

\log L = \sum_{0} \ln {1 - Φ (α_{0}) Φ (\frac{x_{i}^{'} β}{σ})} + \sum_{+} \ln {Φ (α_{0}) \frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i} - x_{i}^{'} β}{σ})}

将 $p = Φ (α_{0})$ ,此时模型就变成了 p-tobit 模型，即认为有一定比例 $p$ 的样本可能会 contribute，而永远不会 contribute 的样本占 $1 - p$ 的比例。 p-tobit 模型最先由 (Deaton and Irish, 1984) 提出。

2. 模型的 Stata 实现

2.1 dhreg 命令介绍

我们可以使用 dhreg 命令来实现双栏模型的估计。在 Stata 命令窗口中输入 help dhreg 命令即可查看其完整帮助文件。dhreg 命令的基本语法为：

  dhreg depvar indepvars [if] [in] [, up ptobit hd(varlist) millr]

各项的含义如下：

depvar: 表示被解释变量，即最终的可观测的 $y$
indepvars：表示关键的解释变量，即决定 $y^{* *}$ (潜变量) 的解释变量 $x$
up：将模型设置为右归并，并且设置 $y$ 最大值（默认为左归并）
ptobit：将双栏模型设置为 p-tobit 模型
hd(varlist): 表示第一栏中决定 $d^{*}$ 的解释变量 $z$
millr：用逆米尔斯比率来控制扰动项的相关性

2.2 基于模拟分析的范例

我们通过模拟生成的数据来对 dhreg 命令的使用进行介绍，下面是数据生成的过程 (DGP)：

d_{i}^{*} = {\begin{cases} 1 & - 2 + 4 z_{i} + ε_{i 1} > 0 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

y_{i}^{* *} = 0.5 + 0.3 x_{i} + ε_{i 2}

y_{i}^{*} = {\begin{cases} y^{* *} & y_{i}^{* *} > 0 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

y_{i} = (d_{i}^{*}) (y_{i}^{*})

ε_{i 1} = 0.5 ε_{i 2} + \sqrt{1 - {0.5}^{2}} η_{i}

ε_{i 1}, η_{i} \sim N (0, 1)

c o r r (ε_{i 1}, ε_{i 2}) = 0.5

z_{i}, x_{i} \sim U (0, 1)

上面第一个公式生成的潜变量 $d_{i}^{*}$ 即为第一个栏 (hurdle)，是由服从均匀分布的外生变量 $z_{i}$ 和扰动项 $ε_{i 1}$ 决定的。第二个公式生成潜变量 $y^{* *}$ 是第二个栏 (hurdle)，是由外生变量 $x_{i}$ 和扰动项 $ε_{i 2}$ 决定的。当前面两个栏都被跨过时，就可以观察到变量 $y_{i}$ (可观测变量）的取值 (非 0)，否则 $y_{i}$ 为 0。

clear all
set obs 1000
set seed 123   // 设置种子，为了使每次重复模拟过程的结果相同
gen z_i = uniform()   //  z_i 服从（0,1)均匀分布
set seed 1234
gen x_i = uniform()
set obs 1000
set seed 12345  
gen e_i2 = invnormal(uniform())  // e_i2 服从标准正态分布
set seed 12435
gen n_i = invnormal(uniform())
gen e_i1 = 0.5*e_i2 + sqrt(1-0.5*0.5)*n_i
gen d_i = 0
replace d_i = 1 if -2 + 4*z_i + e_i1 > 0
gen y_i2 = 0.5 + 0.3*x_i + e_i2
gen y_i1 = 0
replace y_i1 = y_i2 if y_i2 > 0
gen y_i = d_i*y_i1
save data_process1.dta, replace  // 保存一份模拟数据

数据效果如下：

use "data_process1.dta", clear
hist y_i if d_i == 1,title(Conditional on passing first hurdle) scheme(sj)
graph save y_i_1.gph, replace
hist y_i ,title(All Data) scheme(sj)
graph save y_i_2.gph, replace
gr combine  y_i_1.gph  y_i_2.gph
graph save y_i.png, replace

从左图可以看出有很多观测值通过了第一栏(即 $d_{i}^{*} > 0$ ), 但是由于潜变量 $y_{i}^{* *}$ 为 0，导致了最终观测值为 0。而更多的 $y_{i}$ 为 0 的观测值是因为没有通过第一栏 (即 $d_{i}^{*} <= 0$ )。

2.3 模型估计

我们先进行传统的 tobit 估计, 再使用 dhreg 进行估计，然后对这两种估计结果进行比较。

. use "data_process1.dta", clear
. tobit y_i x_i, ll(0)
Tobit regression                                Number of obs     =      1,000
                                                   Uncensored     =        413
Limits: lower = 0                                  Left-censored  =        587
        upper = +inf                               Right-censored =          0

                                                LR chi2(1)        =       3.49
                                                Prob > chi2       =     0.0619
Log likelihood = -1129.3849                     Pseudo R2         =     0.0015

------------------------------------------------------------------------------
         y_i |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         x_i |   .3617779   .1939403     1.87   0.062    -.0187992    .7423551
       _cons |  -.4709888   .1194536    -3.94   0.000    -.7053975   -.2365801
-------------+----------------------------------------------------------------
   var(e.y_i)|    2.40666    .191884                      2.058097    2.814257
------------------------------------------------------------------------------

接着是进行 dhreg 估计：

 dhreg y_i x_i, hd(z_i)
 (output omitted)
 maximum likelihood estimates of double hurdle model

N = 1000
log likelihood = -984.07209
chi square hurdle equation = 67.264411
p hurdle equation = 2.374e-16
chi square above equation = 4.8518223
p above equation = .02761694
chi square overall = 69.895304
p overall = 6.644e-16

--------------------------------------------------------------------------------
             |      coef         se          z          p   lower CI   upper CI
-------------+------------------------------------------------------------------
hurdle       |                                                                  
         z_i |  3.644556   .4443773   8.201488   2.22e-16   2.773592   4.515519
       _cons | -1.727589   .1522467   -11.3473   7.65e-30  -2.025987  -1.429191
above        |                                                                  
         x_i |   .416768    .189209   2.202685   .0276169   .0459251   .7876109
       _cons |  .5702333   .1428997   3.990444   .0000659    .290155   .8503115
sigma        |                                                                  
       _cons |  1.053116   .0643765   16.35869          0   .9269402   1.179292
--------------------------------------------------------------------------------

Tobit 模型估计 $x_{i}$ 的系数为 0.362 (在 10% 水平上显著) , 而 double hurdle 模型估计 $x_{i}$ 的系数为 0.417 (在 5% 水平上显著), 由本次模拟结果来看 Tobit 估计似乎接近真实值 ( $x_{i}$ 实际系数为 0.3), 但是双栏模型可以将决定 $d_{i}$ 的变量 $z_{i}$ 的系数估计出来 (估计为3.645), 非常接近真实值 4 (在 1% 水平上显著)。

[注：我们尝试通过设置不同的种子，生成不同的随机数，发现 double hurdle 模型对 $x_{i}$ 的估计有时候会比 Tobit 模型估计更加准确]。

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3. 面板双栏模型 (Panel-hurdle model)

3.1 面板双栏模型基本原理

Dong and Kaiser (2008) 将双栏模型发展成面板双栏模型，并使用这个模型对家庭牛奶消费做实证分析。Dong 假设并验证了家庭牛奶消费总的来说由非经济因素和经济因素决定，非经济因素包括户主年龄、教育、种族背景等，经济因素包括收入、牛奶的价格等。在一定的时间内，非经济因素一般不会发生改变，并且在家庭是否产生购买牛奶的行为中起决定性作用。

第一阶段 (first hurdle)

\begin{aligned} d_{i}^{*} & = z_{i}^{'} α + ε_{1, i} \\ d_{i} & = 1 if | d_{i}^{*} > 0; d_{i} = 0 otherwise \\ ε_{1, i} & \sim N (0, 1) \end{aligned}

第二阶段 (second hurdle)

\begin{aligned} y_{i t}^{* *} & = x_{i t}^{'} β + u_{i} + ε_{2, i t} \\ y_{i t}^{*} & = max (y_{i t}^{* *}, 0) \\ (\begin{array}{c} ε_{1, i} \\ u_{i} \\ ε_{2, i t} \end{array}) & \sim N [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{array}{ccc} 1 & ρ σ_{u} & 0 \\ ρ σ_{u} & σ_{u}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ^{2} \end{array})] \end{aligned}

最终观测值

y_{i t} = d_{i} y_{i t}^{*}

在第一个阶段中， $α$ 相当于非经济因素， $d_{i}$ 表示个体家庭是否会购买牛奶，基本不随着时间变化而改变；在第二个阶段中， $β$ 相当于经济因素，决定家庭购买牛奶的数量， $y_{i t}^{*}$ 表示个体家庭潜在购买牛奶的数量， $μ_{i}$ 代表个体效应, 且 $μ_{i}$ 与解释变量 $x_{i t}$ 均不相关。 $y_{i t}$ 表示个体家庭在第 $t$ 期购买牛奶的数量。

似然函数模型

(L_{i} | d_{i} = 1, u_{i}) = \prod_{t = 1}^{T} {1 - Φ (\frac{x_{i t}^{'} β + u_{i}}{σ})}^{I (y_{i t} = 0)} {\frac{1}{σ} ϕ (\frac{y_{i t} - x_{i t}^{'} β - u_{i}}{σ})}^{I (y_{i t} > 0)}

(L_{i} | d_{i} = 0) = {\begin{cases} 1 & if \sum_{t = 1}^{T} y_{i t} > 0 \\ 0 & if \sum_{t = 1}^{T} y_{i t} = 0 \end{cases}

(L_{i} | u_{i}) = Φ (z_{i}^{'} α) (L_{i} | d_{i} = 1, u_{i}) + {1 - Φ (z_{i}^{'} α)} (L_{i} | d_{i} = 0)

L_{i} = \int_{- \infty}^{\infty} (L_{i} | u) f (u) d u

样本最终的似然对数函数为： $\log L = \sum_{i = 1}^{n} \ln L_{i}$ 。

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3.2 面板双栏模型的 Stata 实现

Stata 中用 xtdhreg 和 boothreg 命令对面板数据进行双栏模型的估计。首先在 Stata 命令窗口中输入 help xtdhreg 命令即可查看其完整帮助文件。xtdhreg 命令的基本语法为：

  xtdhreg depvar indepvars [if] [in] [, up ptobit hd(varlist) uncorr trace ///
      difficult constraints(numlist)]

各项的含义如下：

depvar: 表示被解释变量，即最终的可观测的 $y$
indepvars：表示关键的解释变量，即决定 $y^{* *}$ (潜变量) 的解释变量 $x$
up：将模型设置为右归并，并且设置 $y$ 最大值（默认为左归并）
ptobit：将双栏模型设置为 p-tobit 模型
hd(varlist): 表示第一栏中决定 $d^{*}$ 的解释变量 $z$
millr：用逆米尔斯比率来控制扰动项的相关性
uncorr：表示第一栏和第二栏中的扰动项不相关
trace：显示每一次迭代的系数
difficult：当模型不收敛时，换用其他替代的算法
constraints(numlist)：允许对模型进行限制

在 Stata 命令窗口中输入 help boothreg 命令即可查看其完整帮助文件。boothreg 命令的基本语法为：

  bootreg depvar indepvars [if] [in] [, up ptobit hd(varlist) millr ///
    margins(string) seed(integer) reps(integer) strata(varlist) cluster(varlist) ///
    capt maxiter(integer)]

各项的含义如下：

depvar: 表示被解释变量，即最终的可观测的 $y$
indepvars：表示关键的解释变量，即决定 $y^{* *}$ (潜变量) 的解释变量 $x$
up：将模型设置为右归并，并且设置 $y$ 最大值（默认为左归并）
ptobit：将双栏模型设置为 p-tobit 模型
hd(varlist): 表示第一栏中决定 $d^{*}$ 的解释变量 $z$
millr：用逆米尔斯比率来控制扰动项的相关性
margins(string)： bootstrep 估计的边际效应