面板变系数模型:每家公司都有一个斜率

发布时间:2020-12-26 阅读 173

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作者: 苗妙 (华南理工大学)
邮箱: miaomiao@scut.edu.cn

Source: Ludwig, V. (2019). XTFEIS: Stata module to estimate linear Fixed-Effects model with Individual-specific Slopes (FEIS). -Link-


目录


1. 简介

在对面板数据的估计中,我们通常用个体效应模型进行估计 (individual-specific effects model),即假定个体有相同的斜率,但可以有不同的截距项,由此采用固定效应模型(Fixed Effects Model, 简记 FE) 或随机效应模型(Random Effects Model, 简记 RE) 进行估计。在此过程中,我们会假定个体固定效应在每一期对 yit 的偏效应都是相同的。

但你有没有遇到过这样的研究问题:加大国有经济的投资能否带动全社会投资的增加和拉动行业经济的增长,对这一问题的探究需要考虑到投资对不同行业的影响作用是不同的(王文成,2013);在分析商业银行利率衍生工具的使用是否可以降低银行的系统性风险时,需要考虑不同商业银行对利率衍生工具的使用存在个体差异(刘志洋,2019)。在研究美国 46 个州人均收入对香烟需求的影响时,人均收入的回归系数在每个州也可能各不相同 (Baltagi 和 Levin, 1992)。当我们允许每个个体回归方程有自己独立的斜率时,就需要用到变系数模型了(models with individual-specific slopes)。相对于短面板数据,长面板数据中这一方法运用得更多。

2. 模型设定和估计方法

2.1 模型的设定

下面我们采用 Wooldridge (2010) 的例子说明变系数模型的设定和估计。一般化的变系数模型如公式 (1) 所示,我们考虑随时间变动的解释变量 wit 的系数不再是常数,而是不可观测的、不随时间变动的变量 ai ,二者的的交乘项,即 witai 被纳入到模型 (1) 中。

考虑一个评估项目培训效果的案例。假设 progit 为是否参加培训项目的变量,yit 是结果变量,我们得到模型 (2):

在普通的固定效应模型中,我们会在估计 β 之后,估计 α=E(αi),即估计出部分平均效应。 Polachek 和 Kim (1994) 提出,不同工作经历的人的培训回报可能是因人而异的;Lemieux (1998) 估计的固定效应模型中,不可观测效应在工会和非工会部门中存在异质性。由于长面板数据样本容量更大,可以允许我们设定变系数模型。在模型 (2) 中,培训项目的效果取决于不可观测效应 ai2。尽管我们要估计 β, 但我们也对培训项目的平均效果感兴趣,这一平均效果用 α2=E(αi2) 表示。

2.2 模型的基本假定

模型 (2) 应满足的假设包括以下三个:

假设 1:严格外生性假定

为了得到一致性估计,我们还需要假设 2 所设定的秩条件。

假设 2:满秩

其中 X¨i=MiXi,即经过「组内去心变换」后的变量。

假设 1 和假设 2 满足时,我们可以得到一致性估计。为了得到渐进方差最简单的估计,我们增加了对方差 {uit:t=1,2,...,T} 的假设 3 。

假设 3:不变条件方差以及无条件序列相关

对于误差的假设,假设 3 假定了不变条件方差以及无条件序列相关。此时,我们可以得到渐进有效的估计量。

2.3 模型设定的 hausman 检验

如果我们错误地把随机斜率当成固定效应,使用了固定效应模型进行估计,结果可能存在偏误。这种错误可能来源于两方面:一是我们忽视了斜率的异质性,二是时间跨度不够,无法支持变系数模型。对于这一问题,我们可以使用 hausman 模型进行检验。在下面的 Stata 操作中,我们会具体演示。

3. Stata 范例:变系数模型的估计

本小节我们介绍如何用 xtfeis 这一命令估计有个体效应的线性固定效应模型 ( linear Fixed-Effects model with Individual-specific Slopes, FEIS ),也称变系数模型。

3.1 xtfeis 命令的安装

xtfeis 命令由 Volker Ludwig 博士编写,这一命令还包括 xtartxtbsht 两个命令,用于比较 xtfeis 估计出的结果与普通固定效应模型或随机效应模型的差别。安装方式如下:

ssc install xtfeis

这个命令包里面包含 xtfeisxtartxtbsht 三个命令。完成安装后,可以进一步输入如下命令获取帮助文件:

help xtfeis
help xtart
help xtbsht

3.2 xtfeis的语法

xtfeis的基本语法如下:

 xtfeis depvar indepvars [if] [in] [,]  ///
     [slope(slopevars)] [noconstant] [cluster(clustvar)]  ///
     [addsp(stub1)] [sp] [transformed(stub2)]

下面,我们具体解释一下该语法结构。其中,

  • slope(slopevars) : 设定了与不随时间变动的个体异质性变量交互的变量名字,即公式 (1) 中的 wit。如果不设定 slope( ) 选项,模型就变普通的线性固定效应模型,使用 xtreg 估计即可。
  • noconstant: 只估计变系数模型,即只估计变化的斜率,忽视截距的变化。
  • cluster(clustvar) : 设定面板稳健标准误。这一标准误对任意形式的组内序列相关以及组间异方差都是稳健的。
  • sp: 对于设定的变系数变量 slopevars, 估计其平均部分效应(the Average Partial Effects, APE)
  • addsp(stub1): 增加其他变系数变量,这些变量的命名是在 slopevars 前加上前缀 stub1。如果要设定 addsp( ),同时需要加入 sp 选项。
  • transformed(stub2): 将个体斜率估计值加入到现有的数据集中,其前缀为 stub2。

3.3 用 xtfeis 估计变系数模型

下面我们使用数据集 nlswork 演示如何对变系数模型进行估计。nlswork 数据集是美国国家纵贯抽样调查 (NLS , National Longitudinal Survey) 项目对女性工资收入进行的调查,调查时间跨度为 1968 年到 1988 年。主要变量包括经过 GNP 调整的工资自然对数 (ln_wage)、是否在婚 (msp, 1 代表在婚且随配偶居住,0 代表其他情况)、现有岗位任职时间 (tenure) 以及总工作年数 (ttl_exp)。

webuse "nlswork.dta", clear

首先我们估计面板稳健标准误的普通固定效应模型,即我们不设定 slope()选项。

 · xtfeis ln_wage msp tenure ttl_exp year, cluster(idcode)

Fixed-effects regression with individual-specific slopes (FEIS)

Group variable: idcode                 Number of obs      =     27533
                                       Number of groups   =      4146

R-sq:  within  = 0.1443                Obs per group: min =         2
                                                      avg =       6.6
                                                      max =        15

Standard errors adjusted for clusters in idcode
----------------------------------------------------------------------
         |           cluster
 ln_wage |  Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------+------------------------------------------------------------
     msp |  0.001      0.007     0.21   0.833       -0.012       0.015
  tenure |  0.012      0.001     7.91   0.000        0.009       0.015
 ttl_exp |  0.029      0.002    12.78   0.000        0.025       0.034
    year | -0.003      0.001    -2.39   0.017       -0.006      -0.001
----------------------------------------------------------------------

进一步地,我们考虑不同女性的总工作年数 (ttl_exp) 对女性工资的影响是不同的,即使用女性总工作年数变系数固定效应模型进行估计,得到如下结果:

. xtfeis ln_wage msp tenure year, slope(ttl_exp) cluster(idcode)

Fixed-effects regression with individual-specific slopes (FEIS)

Group variable: idcode                     Number of obs  =     26521
                                       Number of groups   =      3640
    
R-sq:  within  = 0.0115                Obs per group: min =         3
                                                      avg =       7.3
                                                      max =        15


Standard errors adjusted for clusters in idcode
---------------------------------------------------------------------
         |            cluster
 ln_wage |   Coef.   Std. Err.      t    P>|t|   [95% Conf. Interval]
---------+-----------------------------------------------------------
     msp |   0.009      0.008     1.24   0.217     -0.005       0.024
  tenure |   0.016      0.002     8.69   0.000      0.012       0.020
    year |  -0.005      0.002    -2.92   0.004     -0.009      -0.002
---------------------------------------------------------------------

这时候我们发现,咦,怎么没有 ttlexp 这么重要的变量系数呢?别急,因为 ttl_exp 的系数不再是唯一的 a, 而是 ${a}{i}$, 因此我们根据变系数模型估计出来的 ttlexp 的系数也变成了平均部分效应(the Average Partial Effects, APE),我们加入 sp 选项,这个问题就解决了。另外,我们可能想知道 1968-1988 年间每个个体的可变系数,我们同时在 option 选项里加入 transformed (t), 就可以在数据集中看到对每个个体估计出来的系数了。 另外,在下面的 Hausman 检验中,我们也会详细介绍如何得到每个个体组内估计的可变系数,即只要在估计模型后,使用 xtart 命令就可以解决。

. xtfeis ln_wage msp tenure year,   ///
         slope(ttl_exp) sp transformed(t_) cluster(idcode)

Fixed-effects regression with individual-specific slopes (FEIS)

Group variable: idcode                  Number of obs      =     26521
                                        Number of groups   =      3640

R-sq:  within  = 0.0115                 Obs per group: min =         3
                                                       avg =       7.3
                                                       max =        15


Standard errors adjusted for clusters in idcode

----------------------------------------------------------------------
         |           cluster
 ln_wage |  Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------+------------------------------------------------------------
     msp |  0.009      0.008     1.24   0.217       -0.005       0.024
  tenure |  0.016      0.002     8.69   0.000        0.012       0.020
    year | -0.005      0.002    -2.92   0.004       -0.009      -0.002
----------------------------------------------------------------------

Estimated slope parameters (Average Partial Effects)
----------------------------------------------------------------------
         |  Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
---------+------------------------------------------------------------
 ttl_exp |  0.043      0.081     0.53   0.594       -0.115       0.202
   _cons |  1.816      0.289     6.29   0.000        1.250       2.382
----------------------------------------------------------------------

每个变量的个体估计值如下图所示:

4. Hausman 检验

在估计模型后,我们需要通过与固定效应模型或随机效应模型的对比,检验变系数模型是否适用。

4.1 用 xtbsht 命令进行检验

在面板模型的估计中,我们经常使用 Hausman 检验去判断应该使用固定效应模型还是随机效应模型。当模型存在异方差时,为了使估计结果更有效率和更加稳健,通常使用自助法 (bootstrap) 进行稳健的 Hausman 检验。 xtbsht 即是 Hausman 检验的 bootstrap 版本,使用了配对聚集样本进行检验 (Cameron et al., 2008, Cameron and Miller, 2015)。同时,这一命令也可以通过比较 FEIS 模型与 FE 模型以及 RE 模型的系数是否存在系统性差异,帮助我们选择合适的模型。

xtbsht 命令的语法如下:

xtbsht Model A Model B [,] [keep(varlist)] [reps({num})] [seed({num})]

Model A 和 Model B 是用于比较的模型。 上面的语法结构具体含义如下:

  • keep(varlist): BSHT 只能被 Model A 和 Model B 的公共系数子集所设定
  • reps(num): 设定自助抽样的次数(默认是 50 次)
  • seed(num): 选择性地设定用于 bootstrapping 的随机样本种子(推荐用于想得到重复性结果的情况)

下面我们演示如何比较两个模型的系数是否具有系统性差异。 第一步,估计固定效应模型,并将结果存储到 FE 中。

xtreg ln_wage ttl_exp msp tenure year, cluster(idcode) fe
estimates store FE

Fixed-effects (within) regression           Number of obs     =     28,086
Group variable: idcode                      Number of groups  =      4,699

R-sq:                                       Obs per group:
     within  = 0.1443                                     min =          1
     between = 0.2777                                     avg =        6.0
     overall = 0.1943                                     max =         15

                                            F(4,4698)         =     409.50
corr(u_i, Xb)  = 0.1678                     Prob > F          =     0.0000

                         (Std. Err. adjusted for 4,699 clusters in idcode)
--------------------------------------------------------------------------
         |               Robust
 ln_wage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------+----------------------------------------------------------------
 ttl_exp |      0.029      0.002    12.78   0.000        0.025       0.034
     msp |      0.001      0.007     0.21   0.833       -0.012       0.015
  tenure |      0.012      0.001     7.91   0.000        0.009       0.015
    year |     -0.003      0.001    -2.39   0.017       -0.006      -0.001
   _cons |      1.700      0.090    18.80   0.000        1.523       1.877
---------+----------------------------------------------------------------
 sigma_u |  .37475175
 sigma_e |  .29550037
     rho |  .61661082   (fraction of variance due to u_i)
--------------------------------------------------------------------------

第二步,估计随机效应模型,并将结果存储到 RE 中。

xtreg ln_wage ttl_exp msp tenure year, cluster(idcode) re
estimates store RE

Random-effects GLS regression              Number of obs     =   28,086
Group variable: idcode                     Number of groups  =    4,699

R-sq:                                      Obs per group:
     within  = 0.1439                                    min =        1
     between = 0.2767                                    avg =      6.0
     overall = 0.1959                                    max =       15

                                           Wald chi2(4)      =  2194.74
corr(u_i, X)   = 0 (assumed)               Prob > chi2       =   0.0000

                       (Std. Err. adjusted for 4,699 clusters in idcode)
-----------------------------------------------------------------------
         |              Robust
 ln_wage |     Coef.   Std. Err.     z    P>|z|    [95% Conf. Interval]
---------+-------------------------------------------------------------
 ttl_exp |     0.036      0.002   19.61   0.000       0.032       0.040
     msp |     0.002      0.006    0.39   0.698      -0.010       0.015
  tenure |     0.012      0.001    8.94   0.000       0.010       0.015
    year |    -0.007      0.001   -6.52   0.000      -0.009      -0.005
   _cons |     1.930      0.071   27.06   0.000       1.790       2.070
---------+-------------------------------------------------------------
 sigma_u | .32199696
 sigma_e | .29550037
     rho | .54283078   (fraction of variance due to u_i)
-----------------------------------------------------------------------

第三步,比较固定效应和随机效应模型的系数是否存在显著性差异。我们采用 100 次的 bootstrap, 并设定种子值。设定种子值可以保证结果的可重复性,即在随后重复这一结果的时候,使结果保持不变。

xtbsht FE RE, reps(100) seed(123)

Bootstrapped Hausman Test
Pairwise-clustered Bootstrapping

----------------------------------------------

Comparing models: FE and RE

Bootstrapped estimates with 100 replications
Sampling from clusters defined by idcode

Test of H0: estimates of FE and RE consistent
Alternative H1: FE consistent, RE inconsistent

Test statistic: chi2(4) =         220.99
Prob > chi2 =                     0.0000

从上面的结果我们看到,P 值等于 0,拒绝了原假设,因此采用固定效应模型。同理,我们也可以通过比较 FEIS 模型与 FE 或 RE 模型,检验 FE 或 RE 模型是否是有偏的。

下面我们估计 FEIS 模型,并将结果保存至 FEIS, 输出的结果如下:

xtfeis ln_wage msp tenure year, slope(ttl_exp) cluster(idcode)
estimates store FEIS

Fixed-effects regression with individual-specific slopes (FEIS)

Group variable: idcode                Number of obs      =     26521
                                      Number of groups   =      3640

R-sq:  within  = 0.0115               Obs per group: min =         3
                                                     avg =       7.3
                                                     max =        15

Standard errors adjusted for clusters in idcode
--------------------------------------------------------------------
         |            cluster
 ln_wage |   Coef.   Std. Err.      t    P>|t|  [95% Conf. Interval]
---------+----------------------------------------------------------
     msp |   0.009      0.008     1.24   0.217    -0.005       0.024
  tenure |   0.016      0.002     8.69   0.000     0.012       0.020
    year |  -0.005      0.002    -2.92   0.004    -0.009      -0.002
--------------------------------------------------------------------

首先,我们通过将 FE 的估计结果与 FEIS 的估计结果进行比较,来检验 FE 模型的有偏性。

Bootstrapped Hausman Test
Pairwise-clustered Bootstrapping
----------------------------------------------
Comparing models: FEIS and FE
Bootstrapped estimates with 100 replications
Sampling from clusters defined by idcode

Test of H0: estimates of FEIS and FE consistent
Alternative H1: FEIS consistent, FE inconsistent

Test statistic: chi2(3) =          21.98
Prob > chi2 =                     0.0001

我们看到,P 值为 0,拒绝了原假设,即 FE 模型是有偏的,我们应该选择 FEIS 模型。类似地,我们也采用同样的方法比较一下 FIES 模型与 RE 模型,结果如下:

xtbsht FEIS RE, reps(100) seed(123)
Bootstrapped Hausman Test
Pairwise-clustered Bootstrapping
---------------------------------------------
Comparing models: FEIS and RE
Bootstrapped estimates with 100 replications
Sampling from clusters defined by idcode

Test of H0: estimates of FEIS and RE consistent
Alternative H1: FEIS consistent, RE inconsistent

Test statistic: chi2(3) =           8.82
Prob > chi2 =                     0.0319

我们看到,P 值为 0.03,在 5%的显著性水平下,我们依然可以拒绝原假设,即 RE 模型是有偏的,选择 FEIS 模型。

4.2 用 xtart 命令进行检验

xtart 是采用 Arellano (1993) 的方法对 FE 与 RE 模型进行检验,是 Hausman test 的 ART (Artificial Regression Test) 版本的典型应用,这个命令也是要在 FEIS 的估计之后使用。在使用这个命令时,要用 estimates store 把估计的结果存成 Model A。 如果没有设定 Model A, xtart 会使用 xtfeis 估计出来的最新的结果作为估计结果。

该命令的语法如下:

 xtart [Model A] [,] [addvars(varlist)] ///
       [keepvars(varlist)] [fe] [predicted(stub1 stub2)]

当不设定选项时,默认选项是比较 FEIS 模型与 FE 模型系数是否存在系统性差异。我们也可以设定选项,用来比较其他模型。

  • fe: 比较 FE 与 RE 的系数
  • re: 比较 FEIS 与 RE 的系数
  • addvars(varlist): 在 Model B 中进一步加入协变量
  • keep(varlist): ART 只能被 Model A 和 ModelB 的公共系数子集所设定
  • predicted(stub1 stub2): 在数据集中生成新变量,即 Model A 可变系数因变量的均值以及其他变量的均值及预测值。预测值的变量是在原有变量上加前缀 stub1,均值变量是在原有变量加前缀 stub2。

下面我们仍采用数据集 nlswork 进行具体演示。首先导入数据。

 webuse nlswork
(National Longitudinal Survey.  Young Women 14-26 years of age in 1968)

然后估计面板变系数模型 FEIS,并将结果保存为 FEIS。

xtfeis ln_wage msp tenure year, slope(ttl_exp) cluster(idcode)
estimates store FEIS

Fixed-effects regression with individual-specific slopes (FEIS)

Group variable: idcode                Number of obs      =     26521
                                      Number of groups   =      3640

R-sq:  within  = 0.0115               Obs per group: min =         3
                                                     avg =       7.3
                                                     max =        15
Standard errors adjusted for clusters in idcode
--------------------------------------------------------------------
         |            cluster
 ln_wage |   Coef.   Std. Err.      t    P>|t|  [95% Conf. Interval]
---------+----------------------------------------------------------
     msp |   0.009      0.008     1.24   0.217    -0.005       0.024
  tenure |   0.016      0.002     8.69   0.000     0.012       0.020
    year |  -0.005      0.002    -2.92   0.004    -0.009      -0.002
--------------------------------------------------------------------

下面我们开始运用 xtart 命令对模型进行 hausman 检验。当我们不设定选项,直接采用xtart 进行估计时,就是比较 FEIS 模型与 FE 模型。

xtart
------------------------------------

Artificial Regression Test
(FEIS vs. FE model)
------------------------------------
Full (FEIS) model estimation command :
xtreg ln_wage msp tenure year ttl_exp  _pred_msp _pred_tenure _pred_year   _mean_msp _mean_tenure _mean_year _mean_ttl_exp   if e(sample), re vce(cluster idcod
> e)

Test of H0: FEIS and FE estimates consistent
Alternative H1: FEIS consistent, FE inconsistent

Model constraints

 ( 1)  _pred_msp = 0
 ( 2)  _pred_tenure = 0
 ( 3)  _pred_year = 0

           chi2(  3) =   14.29
         Prob > chi2 =    0.0025

结果显示,P 值小于 1%,拒绝原假设,因此 FEIS 与 FE 不一致。应该采用 FEIS 模型估计更加合适。同时,我们也可以通过加入 fe 选项比较 FE 与 RE 模型,或是加入 re 选项比较 FEIS 与 RE 模型,结果如下:

 xtart FEIS, fe
------------------------------------
Artificial Regression Test
(FE vs. RE model)
------------------------------------

Full (FE) model estimation command :
xtreg ln_wage msp tenure year ttl_exp  _mean_msp _mean_tenure _mean_year _mean_ttl_exp   if e(sample), re vce(cluster idcode)

Test of H0: FE and RE estimates consistent
Alternative H1: FE consistent, RE inconsistent

Model constraints

 ( 1)  _mean_msp = 0
 ( 2)  _mean_tenure = 0
 ( 3)  _mean_year = 0
 ( 4)  _mean_ttl_exp = 0

           chi2(  4) =  208.05
         Prob > chi2 =    0.0000

结果显示,P 值为 0,拒绝原假设,即 FE 与 RE 是不一致的,应选择 FE 模型。加入 re 选项的结果如下:

xtart FEIS, re
------------------------------------

Artificial Regression Test
(FEIS vs. RE model)
------------------------------------
Full (FEIS) model estimation command :
xtreg ln_wage msp tenure year ttl_exp  _pred_msp _pred_tenure _pred_year   if e(sample), re vce(cluster idcode)

Test of H0: FEIS and RE estimates consistent
Alternative H1: FEIS consistent, RE inconsistent

Model constraints

 ( 1)  _pred_msp = 0
 ( 2)  _pred_tenure = 0
 ( 3)  _pred_year = 0

           chi2(  3) =    8.45
         Prob > chi2 =    0.0375

这一结果也显示,RE 模型的结果是不一致的,应该放弃 RE 模型。进一步地,我们可以通过加入 predicted 选项,估计出每组可变系数变量的均值及每个个体的估计值。

xtart FEIS, predicted(_p_ _m_)

如上图所示,针对每一个样本,我们得到了 ln_wage 的估计值 _p_ln_wage,也可以得到针对每个特定个体的系数平均值,比如 _m_msp_m_tenure 以及 _m_ttl_exp

5. 参考文献

  • Arellano, M. On the testing of correlated effects with panel data[J]. Journal of Econometrics, 1993, 59: 87-97.
  • Baltagi B H , Levin D . Cigarette taxation: Raising revenues and reducing consumption[J]. Structural Change & Economic Dynamics, 1992, 3(2):321-335.
  • Cameron A C , Gelbach J B , Miller D L . Bootstrap-Based Improvements for Inference with Clustered Errors[J]. Review of Economics and Statistics, 2008.
  • Cameron A C , Miller D L . A Practitioner's Guide to Cluster-Robust Inference[J]. Journal of Human Resources, 2015, 50(2): 317-372.
  • Wooldridge, J. (2010). Econometrics of Cross Section and Panel Data, Cambridge: MIT Press, 2nd edition, pp. 374-381.
  • 陈强. 高级计量经济学及 Stata 应用[M]. 高等教育出版社, 2014.
  • 刘志洋. 利率衍生工具降低银行业系统性风险了吗?——基于面板变系数模型的实证分析[J]. 当代经济科学, 2019, 41 (3):55-66.
  • 王文成. 国有经济的投资效应研究——基于中国工业制造业 28 个行业的实证分析[J]. 中国工业经济, 2013, (7): 134-146.

6. 相关推文

Note:产生如下推文列表的命令为:. lianxh 面板 panel, m
安装最新版 lianxh 命令:ssc install lianxh, replace

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