twostepweakiv:弱工具变量有多弱?

发布时间:2021-01-20 阅读 311

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作者: 苗妙 (华南理工大学)
邮箱: miaomiao@scut.edu.cn

编者按:本文摘译自下文,特此致谢!

Source: Sun L. Implementing valid two-step identification-robust confidence sets for linear instrumental-variables models[J]. The Stata Journal, 2018, 18(4): 803-825. -Link-


目录


1. 简介

1.1 什么是弱工具变量问题

工具变量是解决内生性问题的有效方法。并且,要保证线性 IV 估计量的一致性,工具变量应该满足相关性和外生性两个条件。而当相关性较弱时,就会产生「弱工具变量」问题。

使用「弱工具变量」虽然可以得到无偏估计,但由于这个「弱」工具变量所能提供的信息非常有限,导致我们在单次估计结果中可能存在很大的偏差。

举个简单的例子:(这部分内容由连老师补充)

李小明 报考了未来大学的金融工程方向的博士研究生,已经进入面试环节。巧合的是,面试官是他的一个多年未见的远房亲戚,他表舅 武吉 教授。显然,若是面试继续进行,李小明的分数必然会偏高。好在我们的武吉教授有远见,向院方提出回避请求。他担心如果隐瞒信息,日后被追究起来,他和小明都会受到影响。

院方不得不另找一位教授担任面试官。显然,新的面试官必须不认识李小明,同时又有能力面试一个金融工程方向的博士申请人。前者是「外生性」条件,后者是「相关性」条件。

在这个案例中,李小明可以视为干扰项 ε,武吉教授可以视为 x,而替代武吉教授出场的新面试官则可以视为工具变量 z

遗憾的是,院内的金融学教授都很忙,而面试又必须如期进行,无奈之下,只好找了位生物学方向的 蔡发 教授来面试李小明。结果可想而知。

显然,临时抱佛脚的 蔡发 教授与武吉教授有一定的相关性:他们都是未来大学的教授,都拥有博士学位,……。总之,院方可以找出很多理由来说明 蔡发 教授是一个可以「担任」面试官的人选 (虽然院方自己可能也觉得有些牵强)。

假设李小明的真实能力是 80 分。

若是让武吉教授来面试,小明的得分可能是 85 甚至更高;而 蔡发 教授的评分就有很大的不确定性了,可能是 90 (他崇拜一个懂得这么多数学知识的学生),也可能是 70 (因为他发现李小明连最基本的螺旋结构都不知道,也不清楚什么叫「实验偏差」)。

如此看来,武吉 教授的打分虽然一定会偏高,但基本上在一个可以预知的范围内 (教授通常都胆小,不像官员,所以武吉教授多给晓明 5 分都觉得自己已经斗胆做了一件天大的事情了)。反观生物学教授 蔡发 老师,他的打分有很大的不确定性,这决定于他提出问题,以及李小明对这些问题的反应。

当然,如果院方不差钱,请 100 位生物学、物理学、天文学 …… 教授分别面试李小明一次,再把这 100 个得分取平均,最终的得分可能会非常接近小名的真实得分 —— 80 分。这其实就是弱工具变量的「无偏性」:估计量的期望值等于真实值。遗憾的是,理论上的无偏性在现实面前显得很无奈,谁能做到这么豪气呢?

1.2 传统弱工具变量检验中的不足

传统 IV 估计模型中所进行的 Wald Tests,在模型存在弱工具变量问题时,Wald 统计量是不稳健的。主要原因是工具变量 Z 中只包含很少的与内生变量 X 有关的信息,致使 Wald 统计量的置信集 (confidence sets, 下文简称 CSs) 中包含的真实参数值信息也更少,统计推断的可靠性降低,当然利用这部分信息进行的估计也就不准确。

尽管可以通过汇报稳健的置信集缓解上述问题,但我们依然想测量工具变量的识别强度。一个较为常用的识别强度方法是,依据两阶段最小二乘法 (2SLS) 中第一阶段中的 F 检验判断。根据 Stock 和 Yogo (2005) 计算出的经验规则 (rule of thumb),如果此检验的 F 统计量大于 10,则可以拒绝弱工具变量的原假设,进而不用担心弱工具变量问题,并报告通常的 Wald CS;反之,则需要报告稳健的 Wald CS。

上述方法在实证中十分常见,但研究者们通常会忽视 F 统计量所要满足的同方差假定。如果数据是异方差、聚类或者序列相关,上述方法就会存在严重的覆盖扭曲 (coverage distortions),即置信集没有很好地覆盖真实参数 β,导致我们无法得到准确的估计。

Note:对于单一的固定参数 θ 而言,采用置信区间 (confidence interval) 这一概念,对于多维参数 θ 而言,采用置信集 (confidence set),本文采用置信集的概念。

1.3 twostepweakiv 命令

twostepweakiv 是 Andrews (2018) 识别强度测量方法的 Stata 实现命令。该命令是对已有命令 weakiv (Finlay 等,2014) 的改进,可以测量工具变量的识别强度。

接下来,本文将介绍 twostepweakiv 命令的理论、语法、以及应用。

2. 两步有效置信集构建的理论模型

2.1 比较不同置信集的覆盖率

当传统的 Wald F 检验不满足同方差条件时,其所用的置信集便是不稳健的。当设定了覆盖扭曲为 γ 时,Wald CS 的实际覆盖概率也低于 1αγ。例如,当我们选择了 95% 的名义置信集,可以接受的覆盖扭曲度 γ 为 10%,模拟分析的结果表明,Wald CS 实际的覆盖概率低于 85%。

Note:覆盖概率是指能够覆盖真实参数的概率,一般通过模拟的方法可以估计置信区间的覆盖概率。覆盖概率在大样本或是样本符合正态分布的时候才会等于置信水平。如果数据是小样本或是不符合正态分布,由于存在覆盖扭曲 γ ,真实的覆盖概率通常为1-α-γ,小于置信水平1- α

2.2 有效置信集的构建

下面,我们演示一下如何在弱识别下构建有效的置信集 CS2(γ)。三个投入要素为:

  • 置信水平为 1α 的非稳健置信集 CSN
  • 置信水平为 1α 的稳健置信集 CSR
  • 初始的稳健置信集 CSp(γ)γ 是最大的覆盖扭曲度。

由此,首先构建出 CS2(γ) :

公式的含义是,当 CSp(γ) 被包含在 CSN 中时,为强识别,采用非稳健的置信集;反之,采用稳健的置信集。

进一步,设定如下三个与 γ 相关的参数:

  • 设定 γmin 为初始的覆盖扭曲度,一般默认为 5%;
  • 设定 γ 为可以接受的最大覆盖扭曲度;
  • 设定 γ^ 为最小的覆盖扭曲 (也是临界值)。

公式的含义是,当 γ 大于 γ^ 时,表明可以接受的覆盖扭曲度大于临界值,那么可以采用非稳健的 CS,即 CSN,反之,则采用稳健 CS,即 CSR

对上述方法构建的置信集 CS2(γ) 进行模拟检验,将 γmin 设定为 5%, 可以发现 CS2(10%) 的覆盖率均在 85% 以上。

3. twostepweakiv 命令介绍

3.1 命令的安装

twostepweakiv 由 Liyang Sun 博士编写,其安装方法如下:

ssc install twostepweakiv, replace   //安装最新版命令
help twostepweakiv                   // 查看相应的帮助文件

3.2 命令的语法

twostepweakiv 命令的基本语法如下:

twostepweakiv estimator depvar [varlist1] (varlist2=varlist_iv) [weight] [if exp] [in range] [, project(varlist) test_options grid_options size_options strong_options]

基本语法介绍:

  • estimator:可以使用的估计量,包括两阶段最小二乘估计量 (2sls)、有限信息最大似然估计 (liml)、最小距离估计 (md2s)、以及连续更新估计量 (cue);
  • varlist1:一系列外生变量;
  • varlist2: 一系列内生变量,最多设定 5 个内生变量;
  • varlist_iv:一系列工具变量,最多设定 50 个工具变量。

options 选项介绍:

  • test_options 在计算置信区间时,可以采用的检验。

    • citelist(testlist): 为参数指定在构建 CSs 时采用的检验。这些检验除了包括 weakiv 中已有的 nonrobust Wald test、AR test、K test,还有 K_2sls、LC、以及 LC_2sls 检验;
    • project(varlist): 当有多个内生变量时,而我们只关注其中的某一个内生变量的系数 β 时,采用精炼投影方法 (refined projection method) 计算 β 的 CSs,并把其他内生变量 η 当做厌恶参数 (nuisance parameters)。如果想对 η 做额外的假设,可以参看 strong() 选项;
    • ptestlist(project_testlist): 对上面的 project() 设定采用的检验,可以采用的检验包括 nonrobust Wald test、K test、K_2sls、LC、以及 LC_2sls 检验。
  • grid_options 设定在计算统计量时所采用的网格位置及大小。

    • gridmin(numlist): 根据内生变量的个数,设定网格搜索的下限;
    • gridmax(numlist): 根据内生变量的个数,设定网格搜索的上限;
    • gridmult(#): 对于网格的大小,是将 Wald 置信区间的放大几倍,默认是 5;
    • gridpoints(numlist): 根据内生变量的个数设定,来计算置信区间的区域大小,即空间内均匀分布的点的数量。对于 1-5 个内生变量,gridpoints 默认值分别是 100、25、11、7、5。
  • size_options 设定名义置信水平 α、以及初始覆盖扭曲度 γmin。默认值是,α = 95% 和 γmin = 5。

    • level(#):置信水平,默认值是 level(95)
    • gammalevel(#):有效两步置信区间的初始扭曲水平,默认是 gammalevel(5)
  • strong_options 当多于一个内生变量时,假设某些内生变量是强识别的,可以用该选项进行设定。

    • strong(varlist):当把系数为 β 的内生变量当做弱识别,其他系数为 η 的内生变量是强识别时,可以用这一选项进行设定。

4. 案例演示

下面采用作者提供的演示数据进行实例演示,演示代码可以在 twostepweakiv 命令的帮助文件中查看。

接下来,我们将采用 twostepweakiv 命令帮助文件提供的数据和代码进行演示。其中,数据来源于 Mroz (1987)。在本文中,我们研究的是已婚女性工作经验对工资的影响。

首先导入数据,命令如下:

clear
use http://www.stata.com/data/jwooldridge/eacsap/mroz.dta

* 或
* ssc install bcuse
* bcuse mroz

gen byte poshours=(hours>0)   //只考虑参与到劳动力市场上,工资为正的女性子样本

由于经验会受到很多不可观测因素的影响,是个内生变量,因此我们采用女性父母受教育年限作为工具变量。在此基础上,运用 twostepweakiv 命令构建稳健识别的 CS,采用的估计量设定为 2sls。由于只有一个内生变量时,默认的网格点是 100 个。运行代码及结果如下:

twostepweakiv 2sls lwage exper expersq (educ = fatheduc motheduc)

在该命令中,lwage 代表工资的对数,experexpersq 是在劳动市场上的工作经验及其二次方,fatheedumotheduc 分别是父亲及母亲的教育年限。

Weak instrument robust tests and confidence sets for linear IV
Confidence sets based on k_2sls lc_2sls ar tests are shown below.
-----------------------------------------------------------------
   Test |   Conf. level  Conf. Set             
--------+--------------------------------------------------------
 K_2sls |       95%      [ -.00757, .123795]   
LC_2sls |       95%      [ -.00757, .123795]   
     AR |       95%      [-.020706, .136931]   
--------+--------------------------------------------------------
   Wald |       95%      [-.003629, .126422]   
-----------------------------------------------------------------
Confidence sets (if calculated) based on 100 points in [ -.26373, .386523].
LC test gamma_min is 5%; distortion cutoff is 5% based on the given grid, obtained by 10^6 simulation draws.
Number of obs N = 428.
Method = minimum distance/Wald.
Tests robust to heteroskedasticity.
Wald confidence set is based on 2sls estimates and is not robust to weak instruments.

可以看出,初始的覆盖扭曲 γmin 默认为 5%,计算出的覆盖扭曲临界值 γ^ 为 5%。运用 2sls 方法计算的估计量是 LC_2sls、K_2sls、以及 AR,其 CS 也汇报在了结果中,并且这三个 CS 在异方差下均是稳健的,而依据 2sls 估计下的 Wald CS 在弱工具变量下是不稳健的。

当然,我们也可以自行设定网格位置及大小。在下面的例子中,我们不再使用 grid_options 的默认选项,而是将网格设定为 [-1000, 8000]。回归代码及结果如下:

twostepweakiv 2sls hours nwifeinc educ age kidslt6 kidsge6 ///
   (lwage=exper expersq fatheduc motheduc) if inlf==1,     ///
   gridmin(-1000) gridmax(8000) gridpoints(901)

其中,hours 是 1975 年美国平均女性工作小时数,nwifeinc 是 (家庭收入 - 工资*小时数) / 1000,educ 是受教育年限,age 是女性的年龄,kidslt6 是小于六岁的儿童数量,kidsage6 是家庭中 6-18 岁儿童的数量,inlf 是是否在劳动力市场的虚拟变量。

Weak instrument robust tests and confidence sets for linear IV
Confidence sets based on k_2sls lc_2sls ar tests are shown below.
-------------------------------------------------------------------
   Test |   Conf. level  Conf. Set             
--------+----------------------------------------------------------
 K_2sls |       95%      [    -840,    -680] U [     710,    4070]
LC_2sls |       95%      [     750,    4100]   
     AR |       95%      [     770,    6930]   
--------+----------------------------------------------------------
   Wald |       95%      [ 350.552,  2180.1]   
-------------------------------------------------------------------
Confidence sets (if calculated) based on 901 points in [ -1000, 8000].
LC test gamma_min is 5%; distortion cutoff is 33% based on the given grid, obtained by 10^6 simulation draws.
Number of obs N = 428.
Method = minimum distance/Wald.
Tests robust to heteroskedasticity.
Wald confidence set is based on 2sls estimates and is not robust to weak instruments.

该结果同样汇报了稳健的 K_2sls、LC_2sls、AR 统计量以及非稳健的 Wald 统计量的置信集。根据这一结果,我们可以构建两步有效稳健置信集。根据第二部分的理论,我们需要三个因素:稳健的 LC_2sls CS,非稳健的 Wald CS 以及覆盖扭曲的临界值  γ^

从结果下方的说明文字中可以看出,覆盖扭曲的临界值是 33%,这个值较大,说明工具变量较弱。如果读者愿意忍受的覆盖扭曲最多是 10%,小于临界值,那么应该采用 LC_2sls 给出的稳健置信区间;如果读者愿意忍受的覆盖扭曲最大可以达到 50%,大于临界值,那就可以采用非稳健的 Wald CS。

5. 参考文献

  • Identification and inference for econometric models: Essays in honor of Thomas Rothenberg[M]. Cambridge University Press, 2005. -Link-
  • Finlay K, Magnusson L, Schaffer M. WEAKIV10: Stata module to perform weak-instrument-robust tests and confidence intervals for instrumental-variable (IV) estimation of linear, probit and tobit models[J]. 2014. -Link-
  • Andrews I. Valid two-step identification-robust confidence sets for GMM[J]. Review of Economics and Statistics, 2018, 100(2): 337-348. -Link-
  • Mroz T A. The sensitivity of an empirical model of married women's hours of work to economic and statistical assumptions[J]. Econometrica: Journal of the econometric society, 1987: 765-799. -Link-
  • 陈强. 高级计量经济学及 Stata 应用[M]. 高等教育出版社, 2014.

6. 相关推文

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lianxh IV, m
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