twostepweakiv：弱工具变量有多弱？

发布时间：2021-01-20 阅读 13155

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作者： 苗妙 (华南理工大学)
邮箱： miaomiao@scut.edu.cn

编者按：本文摘译自下文，特此致谢！

Source: Sun L. Implementing valid two-step identification-robust confidence sets for linear instrumental-variables models[J]. The Stata Journal, 2018, 18(4): 803-825. -Link-

1. 简介

1.1 什么是弱工具变量问题

工具变量是解决内生性问题的有效方法。并且，要保证线性 $I V$ 估计量的一致性，工具变量应该满足相关性和外生性两个条件。而当相关性较弱时，就会产生「弱工具变量」问题。

使用「弱工具变量」虽然可以得到无偏估计，但由于这个「弱」工具变量所能提供的信息非常有限，导致我们在单次估计结果中可能存在很大的偏差。

举个简单的例子：(这部分内容由连老师补充)

李小明 报考了未来大学的金融工程方向的博士研究生，已经进入面试环节。巧合的是，面试官是他的一个多年未见的远房亲戚，他表舅武吉教授。显然，若是面试继续进行，李小明的分数必然会偏高。好在我们的武吉教授有远见，向院方提出回避请求。他担心如果隐瞒信息，日后被追究起来，他和小明都会受到影响。

院方不得不另找一位教授担任面试官。显然，新的面试官必须不认识李小明，同时又有能力面试一个金融工程方向的博士申请人。前者是「外生性」条件，后者是「相关性」条件。

在这个案例中，李小明可以视为干扰项 $ε$ ，武吉教授可以视为 $x$ ，而替代武吉教授出场的新面试官则可以视为工具变量 $z$ 。

遗憾的是，院内的金融学教授都很忙，而面试又必须如期进行，无奈之下，只好找了位生物学方向的蔡发教授来面试李小明。结果可想而知。

显然，临时抱佛脚的蔡发教授与武吉教授有一定的相关性：他们都是未来大学的教授，都拥有博士学位，……。总之，院方可以找出很多理由来说明蔡发教授是一个可以「担任」面试官的人选 (虽然院方自己可能也觉得有些牵强)。

假设李小明的真实能力是 80 分。

若是让武吉教授来面试，小明的得分可能是 85 甚至更高；而蔡发教授的评分就有很大的不确定性了，可能是 90 (他崇拜一个懂得这么多数学知识的学生)，也可能是 70 (因为他发现李小明连最基本的螺旋结构都不知道，也不清楚什么叫「实验偏差」)。

如此看来，武吉教授的打分虽然一定会偏高，但基本上在一个可以预知的范围内 (教授通常都胆小，不像官员，所以武吉教授多给晓明 5 分都觉得自己已经斗胆做了一件天大的事情了)。反观生物学教授蔡发老师，他的打分有很大的不确定性，这决定于他提出问题，以及李小明对这些问题的反应。

当然，如果院方不差钱，请 100 位生物学、物理学、天文学 …… 教授分别面试李小明一次，再把这 100 个得分取平均，最终的得分可能会非常接近小名的真实得分 —— 80 分。这其实就是弱工具变量的「无偏性」：估计量的期望值等于真实值。遗憾的是，理论上的无偏性在现实面前显得很无奈，谁能做到这么豪气呢？

1.2 传统弱工具变量检验中的不足

传统 $I V$ 估计模型中所进行的 Wald Tests，在模型存在弱工具变量问题时，Wald 统计量是不稳健的。主要原因是工具变量 $Z$ 中只包含很少的与内生变量 $X$ 有关的信息，致使 Wald 统计量的置信集 (confidence sets, 下文简称 CSs) 中包含的真实参数值信息也更少，统计推断的可靠性降低，当然利用这部分信息进行的估计也就不准确。

尽管可以通过汇报稳健的置信集缓解上述问题，但我们依然想测量工具变量的识别强度。一个较为常用的识别强度方法是，依据两阶段最小二乘法 (2SLS) 中第一阶段中的 F 检验判断。根据 Stock 和 Yogo (2005) 计算出的经验规则 (rule of thumb)，如果此检验的 F 统计量大于 10，则可以拒绝弱工具变量的原假设，进而不用担心弱工具变量问题，并报告通常的 Wald CS；反之，则需要报告稳健的 Wald CS。

上述方法在实证中十分常见，但研究者们通常会忽视 F 统计量所要满足的同方差假定。如果数据是异方差、聚类或者序列相关，上述方法就会存在严重的覆盖扭曲 (coverage distortions)，即置信集没有很好地覆盖真实参数 $β$ ，导致我们无法得到准确的估计。

Note：对于单一的固定参数 $θ$ 而言，采用置信区间 (confidence interval) 这一概念，对于多维参数 $θ$ 而言，采用置信集 (confidence set)，本文采用置信集的概念。

1.3 twostepweakiv 命令

twostepweakiv 是 Andrews (2018) 识别强度测量方法的 Stata 实现命令。该命令是对已有命令 weakiv (Finlay 等，2014) 的改进，可以测量工具变量的识别强度。

接下来，本文将介绍 twostepweakiv 命令的理论、语法、以及应用。

2. 两步有效置信集构建的理论模型

2.1 比较不同置信集的覆盖率

当传统的 Wald F 检验不满足同方差条件时，其所用的置信集便是不稳健的。当设定了覆盖扭曲为 $γ$ 时，Wald CS 的实际覆盖概率也低于 $1 - α - γ$ 。例如，当我们选择了 95% 的名义置信集，可以接受的覆盖扭曲度 $γ$ 为 10%，模拟分析的结果表明，Wald CS 实际的覆盖概率低于 85%。

Note：覆盖概率是指能够覆盖真实参数的概率，一般通过模拟的方法可以估计置信区间的覆盖概率。覆盖概率在大样本或是样本符合正态分布的时候才会等于置信水平。如果数据是小样本或是不符合正态分布，由于存在覆盖扭曲 $γ$ ，真实的覆盖概率通常为1- $α$ - $γ$ ，小于置信水平1- $α$ 。

2.2 有效置信集的构建

下面，我们演示一下如何在弱识别下构建有效的置信集 $C S_{2} (γ)$ 。三个投入要素为:

置信水平为 $1 - α$ 的非稳健置信集 $C S_{N}$ ；
置信水平为 $1 - α$ 的稳健置信集 $C S_{R}$ ；
初始的稳健置信集 $C S_{p} (γ)$ , $γ$ 是最大的覆盖扭曲度。

由此，首先构建出 ${C S}_{2} (γ)$ :

{C S}_{2} (γ) = {\begin{cases} {C S}_{N} & if {C S}_{P} (γ) \subseteq {C S}_{N} \\ {C S}_{R} & if {C S}_{P} (γ) ⊈ {C S}_{N} \end{cases}

公式的含义是，当 $C S_{p} (γ)$ 被包含在 $C S_{N}$ 中时，为强识别，采用非稳健的置信集；反之，采用稳健的置信集。

进一步，设定如下三个与 $γ$ 相关的参数：

设定 $γ_{m i n}$ 为初始的覆盖扭曲度，一般默认为 5%；
设定 $γ$ 为可以接受的最大覆盖扭曲度；
设定 $\hat{γ}$ 为最小的覆盖扭曲 (也是临界值)。

{C S}_{2} (γ) = {\begin{cases} {C S}_{N} & if \hat{γ} \leq γ \\ {C S}_{R} & if \hat{γ} > γ \end{cases}

公式的含义是，当 $γ$ 大于 $\hat{γ}$ 时，表明可以接受的覆盖扭曲度大于临界值，那么可以采用非稳健的 $C S$ ，即 $C S_{N}$ ，反之，则采用稳健 CS，即 $C S_{R}$ 。

对上述方法构建的置信集 ${C S}_{2} (γ)$ 进行模拟检验，将 $γ_{m i n}$ 设定为 5%, 可以发现 ${C S}_{2} (10 %)$ 的覆盖率均在 85% 以上。

3. twostepweakiv 命令介绍

3.1 命令的安装

twostepweakiv 由 Liyang Sun 博士编写，其安装方法如下：

ssc install twostepweakiv, replace   //安装最新版命令
help twostepweakiv                   // 查看相应的帮助文件

3.2 命令的语法

twostepweakiv 命令的基本语法如下：

twostepweakiv estimator depvar [varlist1] (varlist2=varlist_iv) [weight] [if exp] [in range] [, project(varlist) test_options grid_options size_options strong_options]

基本语法介绍：

estimator：可以使用的估计量，包括两阶段最小二乘估计量 (2sls)、有限信息最大似然估计 (liml)、最小距离估计 (md2s)、以及连续更新估计量 (cue)；
varlist1：一系列外生变量；
varlist2: 一系列内生变量，最多设定 5 个内生变量；
varlist_iv：一系列工具变量，最多设定 50 个工具变量。

options 选项介绍：

test_options 在计算置信区间时，可以采用的检验。
- citelist(testlist): 为参数指定在构建 CSs 时采用的检验。这些检验除了包括 weakiv 中已有的 nonrobust Wald test、AR test、K test，还有 K_2sls、LC、以及 LC_2sls 检验；
- project(varlist): 当有多个内生变量时，而我们只关注其中的某一个内生变量的系数 $β$ 时，采用精炼投影方法 (refined projection method) 计算 $β$ 的 CSs，并把其他内生变量 $η$ 当做厌恶参数 (nuisance parameters)。如果想对 $η$ 做额外的假设，可以参看 strong() 选项；
- ptestlist(project_testlist): 对上面的 project() 设定采用的检验，可以采用的检验包括 nonrobust Wald test、K test、K_2sls、LC、以及 LC_2sls 检验。
grid_options 设定在计算统计量时所采用的网格位置及大小。
- gridmin(numlist): 根据内生变量的个数，设定网格搜索的下限；
- gridmax(numlist): 根据内生变量的个数，设定网格搜索的上限；
- gridmult(#): 对于网格的大小，是将 Wald 置信区间的放大几倍，默认是 5；
- gridpoints(numlist): 根据内生变量的个数设定，来计算置信区间的区域大小，即空间内均匀分布的点的数量。对于 1-5 个内生变量，gridpoints 默认值分别是 100、25、11、7、5。
size_options 设定名义置信水平 $α$ 、以及初始覆盖扭曲度 $γ_{m i n}$ 。默认值是， $α$ = 95% 和 $γ_{m i n}$ = 5。
- level(#)：置信水平，默认值是 level(95)。
- gammalevel(#)：有效两步置信区间的初始扭曲水平，默认是 gammalevel(5)。
strong_options 当多于一个内生变量时，假设某些内生变量是强识别的，可以用该选项进行设定。
- strong(varlist)：当把系数为 $β$ 的内生变量当做弱识别，其他系数为 $η$ 的内生变量是强识别时，可以用这一选项进行设定。

4. 案例演示

下面采用作者提供的演示数据进行实例演示，演示代码可以在 twostepweakiv 命令的帮助文件中查看。

接下来，我们将采用 twostepweakiv 命令帮助文件提供的数据和代码进行演示。其中，数据来源于 Mroz (1987)。在本文中，我们研究的是已婚女性工作经验对工资的影响。

首先导入数据，命令如下：

clear
use http://www.stata.com/data/jwooldridge/eacsap/mroz.dta

* 或
* ssc install bcuse
* bcuse mroz

gen byte poshours=(hours>0)   //只考虑参与到劳动力市场上，工资为正的女性子样本

由于经验会受到很多不可观测因素的影响，是个内生变量，因此我们采用女性父母受教育年限作为工具变量。在此基础上，运用 twostepweakiv 命令构建稳健识别的 CS，采用的估计量设定为 2sls。由于只有一个内生变量时，默认的网格点是 100 个。运行代码及结果如下：

twostepweakiv 2sls lwage exper expersq (educ = fatheduc motheduc)

在该命令中，lwage 代表工资的对数，exper 和 expersq 是在劳动市场上的工作经验及其二次方，fatheedu 和 motheduc 分别是父亲及母亲的教育年限。

Weak instrument robust tests and confidence sets for linear IV
Confidence sets based on k_2sls lc_2sls ar tests are shown below.
-----------------------------------------------------------------
   Test |   Conf. level  Conf. Set             
--------+--------------------------------------------------------
 K_2sls |       95%      [ -.00757, .123795]   
LC_2sls |       95%      [ -.00757, .123795]   
     AR |       95%      [-.020706, .136931]   
--------+--------------------------------------------------------
   Wald |       95%      [-.003629, .126422]   
-----------------------------------------------------------------
Confidence sets (if calculated) based on 100 points in [ -.26373, .386523].
LC test gamma_min is 5%; distortion cutoff is 5% based on the given grid, obtained by 10^6 simulation draws.
Number of obs N = 428.
Method = minimum distance/Wald.
Tests robust to heteroskedasticity.
Wald confidence set is based on 2sls estimates and is not robust to weak instruments.

可以看出，初始的覆盖扭曲 $γ_{m i n}$ 默认为 5%，计算出的覆盖扭曲临界值 $\hat{γ}$ 为 5%。运用 2sls 方法计算的估计量是 LC_2sls、K_2sls、以及 AR，其 CS 也汇报在了结果中，并且这三个 CS 在异方差下均是稳健的，而依据 2sls 估计下的 Wald CS 在弱工具变量下是不稳健的。

当然，我们也可以自行设定网格位置及大小。在下面的例子中，我们不再使用 grid_options 的默认选项，而是将网格设定为 [-1000, 8000]。回归代码及结果如下：

twostepweakiv 2sls hours nwifeinc educ age kidslt6 kidsge6 ///
   (lwage=exper expersq fatheduc motheduc) if inlf==1,     ///
   gridmin(-1000) gridmax(8000) gridpoints(901)

其中，hours 是 1975 年美国平均女性工作小时数，nwifeinc 是 (家庭收入 - 工资*小时数) / 1000，educ 是受教育年限，age 是女性的年龄，kidslt6 是小于六岁的儿童数量，kidsage6 是家庭中 6-18 岁儿童的数量，inlf 是是否在劳动力市场的虚拟变量。

Weak instrument robust tests and confidence sets for linear IV
Confidence sets based on k_2sls lc_2sls ar tests are shown below.
-------------------------------------------------------------------
   Test |   Conf. level  Conf. Set             
--------+----------------------------------------------------------
 K_2sls |       95%      [    -840,    -680] U [     710,    4070]
LC_2sls |       95%      [     750,    4100]   
     AR |       95%      [     770,    6930]   
--------+----------------------------------------------------------
   Wald |       95%      [ 350.552,  2180.1]   
-------------------------------------------------------------------
Confidence sets (if calculated) based on 901 points in [ -1000, 8000].
LC test gamma_min is 5%; distortion cutoff is 33% based on the given grid, obtained by 10^6 simulation draws.
Number of obs N = 428.
Method = minimum distance/Wald.
Tests robust to heteroskedasticity.
Wald confidence set is based on 2sls estimates and is not robust to weak instruments.

该结果同样汇报了稳健的 K_2sls、LC_2sls、AR 统计量以及非稳健的 Wald 统计量的置信集。根据这一结果，我们可以构建两步有效稳健置信集。根据第二部分的理论，我们需要三个因素：稳健的 LC_2sls CS，非稳健的 Wald CS 以及覆盖扭曲的临界值 $\hat{γ}$ 。

从结果下方的说明文字中可以看出，覆盖扭曲的临界值是 33%，这个值较大，说明工具变量较弱。如果读者愿意忍受的覆盖扭曲最多是 10%，小于临界值，那么应该采用 LC_2sls 给出的稳健置信区间；如果读者愿意忍受的覆盖扭曲最大可以达到 50%，大于临界值，那就可以采用非稳健的 Wald CS。

5. 参考文献

Identification and inference for econometric models: Essays in honor of Thomas Rothenberg[M]. Cambridge University Press, 2005. -Link-
Finlay K, Magnusson L, Schaffer M. WEAKIV10: Stata module to perform weak-instrument-robust tests and confidence intervals for instrumental-variable (IV) estimation of linear, probit and tobit models[J]. 2014. -Link-
Andrews I. Valid two-step identification-robust confidence sets for GMM[J]. Review of Economics and Statistics, 2018, 100(2): 337-348. -Link-
Mroz T A. The sensitivity of an empirical model of married women's hours of work to economic and statistical assumptions[J]. Econometrica: Journal of the econometric society, 1987: 765-799. -Link-
陈强. 高级计量经济学及 Stata 应用[M]. 高等教育出版社, 2014.

6. 相关推文

Note： 产生如下推文列表的命令为：
lianxh IV, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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