交乘项-交叉项的中心化问题

发布时间:2020-05-21 阅读 944

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作者:连玉君 (中山大学)
Email: arlionn@163.com

交乘项设定下的中心化问题


目录


1. 简介

本文曾用名「加入交乘项后符号变了!」。

连享会·交乘项专题:主页版公众号版知乎版

在前面的几篇推文中,我们对交乘项的基本设定、图示、边际效应分析等内容进行了较为细致的分析。最近适逢很多学生写毕业论文,有关交乘项的问题又涌上心头。其中,最突出的问题便是:为何加入交乘项后主变量变得不显著了,甚至符号都变掉了?

简单的解释是:此一时,彼一时!

因为,加入交乘项前后,主变量的系数含义发生了实质性的变化,二者不具可比性。本文的目的在于澄清这种差异,并介绍一种让主变量系数在加入交乘项前后不会发生大幅变化 (具有可比性) 的方法。

2. 为何加入交乘项后主变量符号会变化?

对于模型

系数 β1=y/x1|x2=x¯2,也就是当 x2 取样本均值 x¯2 时,x1 变动一个单位对 y 的影响。

当我们加入交乘项 x1x2 后,x1 的系数含义发生了很大的变化。

先看 x1 对 y 的边际影响:y/x1=θ1+θ3x2,这是大家都了解的基本结论:包含交乘项时,x1 对 y 的边际影响不再是常数,而是随着 x2 的取值不同而发生变化。

  • 解释:此时,一阶项 x1 的系数为 θ1=y/x1|x2=0。也就是说,在模型 (2) 中,一阶项 x1 的系数表示当 x2=0 时,x1 变动一个单位对 y 的影响。显然,模型 (1) 中的 β1 与 模型 (2) 中的 θ1 估计值不同,甚至发生符号变化是很正常的事情。
  • 举个简单的例子。假设 y 表示收入;x1 表示丑陋程度x2 表示教育年限,取值为 0, 1, 2, ……20,均值为 12。基本想法是想检验「教育能否扭转我在职场上的天生劣势?(你知道我为什么读 PhD 吗?)」。假设估计模型 (2) 得到的参数为 θ1=1.6θ3=0.2,即 y/x1=1.6+0.2x2。根据上面的数值,可以大致推断模型 (1) 中 x1 的系数约为 β11.6+0.2x¯2=1.6+0.2×12=0.8。大家可以自行分析一下 θ1 和 β1 的经济含义。

3. 如何尽力保证模型间的系数可比性?

若想让加入交乘项前后的模型 (1) 和模型 (2) 中主变量 (x1) 的系数具有可比性,可以采用如下模型设定形式 (参见 Balli H O, Sørensen B E. Interaction effects in econometrics[J]. Empirical Economics, 2013, 45(1): 583-603. [PDF]):

其中,x¯1 和 x¯2 分别表示 x1 和 x2 的样本均值。

此时,主变量 (x1) 的系数 γ1 会非常接近基于模型 (1) 得到的 β1

大家可能更加关心交乘项的系数是否会发生变化,答案是:不会!

因为,模型 (3) 相对于模型 (2) 无非是增加了一些一阶项和常数项,而交乘项并未发生变化。我们也可以用更为正式的方式来得到这一结论。对于模型 (2) 而言,[y/x1]/x2=θ3,而在模型 (3) 中 [y/x1]/x2=γ3

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4. 部分离差还是全部离差?

在模型 (3) 中 (x1x¯1) 称为 x1 的离差形式,其实就是对 x1 的每个观察值都做去均值处理。

因此,文献中也会采用如下模型设定形式:

按照上面的分析逻辑不难看出,这个模型与 模型 (3) 没有任何本质区别,因为展开后新增的项目 γ1x¯1 和 γ2x¯2 都是常数,即

其中,δ0=(γ0γ1x¯1γ2x¯2)。简言之,相对于模型 (3),由模型 (4) 中得到的 x1x2 以及 x1x2 的系数都是完全相同的,唯一差别在于常数项。

需要补充说明的是,无论是采用模型 (3) 还是模型 (4),本意都是为了方便对系数的含义进行解释,并不是所谓的克服共线性之类的说辞。

5. 模拟分析

参考 Balli et al. (2013, [PDF]) 文中的做法进行模拟,发现在使用交乘项时,在模型中用 (x1x¯1)(x2x¯2) 替换 x1x2,一次项的系数更容易解释一些。

Note: 这里的 x 表示上文中的 x1,这里的 z 表示上文中的  x2

*-Source: 
/*
Balli, H. O., B. E. Sørensen, 2013, 
   Interaction effects in econometrics, 
   Empirical Economics, 45 (1): 583-603.
*/

/* Table 1
The true model is Y = 3X1 + 5X2 + 8X1X2 + e 
where X1 = 1 + e1 and X2 = 1 + e2, 
ei~N(0,1) for i = 1, 2 
(X1 and X2 are not correlated) and  e~N(0,100). 
A constant is included but not reported. 
The sample size is 500 and the number of simulations is 20,000. 
Averages of estimated t statistics are shown in parentheses
*/
clear 
set obs 500
set seed 135
local rhox = 0
gen x = 1 + rnormal()
gen z = 1 + rnormal() + `rhox'*x
gen e = rnormal(0,10)

gen y = 10 + 3*x + 5*z + 8*x*z + e

pwcorr y x z

center x z, prefix(c_)
*-模型 (0)
reg y x 
est store m0
*-模型 (1)
reg y x z     
est store m1
*-模型 (2)
reg y x z c.x#c.z
est store m2
*-模型 (3)
reg y x z c.c_x#c.c_z  // Balli2013, Eq.(3)
est store m3
*-模型 (4)
reg y c_x c_z c.c_x#c.c_z
est store m4

*-结果对比
  local m "m0 m1 m2 m3 m4"
  local m "m1 m2 m3 m4"
  esttab `m' `s', nogap replace order(x z c_x c_z)  ///
         b(%6.3f) s(N r2_a) drop(`drop')   ///
         star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01)      ///
  		 addnotes("*** 1% ** 5% * 10%") 

----------------------------------------------------------------------------
Model                (1)             (2)             (3)             (4)   
----------------------------------------------------------------------------
x                   9.979***        2.904***       10.047***                
                  (17.66)          (4.48)         (21.68)                   
z                  12.898***        5.450***       13.101***                
                  (22.53)          (8.14)         (27.90)     
c_x                                                                10.047***
                                                                  (21.68)   
c_z                                                                13.101***
                                                                  (27.90)                 
x#z                                 7.479***                                
                                  (15.59)                                   
c_x#c_z                                             7.479***        7.479***
                                                  (15.59)         (15.59)   
_cons               3.024***        9.792***        2.485***       25.275***
                   (3.12)         (10.81)          (3.12)         (53.61)   
----------------------------------------------------------------------------
N                 500.000         500.000         500.000         500.000   
r2_a                0.629           0.751           0.751           0.751   
----------------------------------------------------------------------------
t statistics in parentheses
*** 1% ** 5% * 10%

.   sum y x z 
    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
           y |        500    25.55029    21.10401  -33.97629   103.5704
           x |        500       1.023    1.018471  -2.755543   3.808831
           z |        500    .9550672    1.005523  -1.766887   3.902355

结果分析:

  • 在模型 (1)-(3) 中,交乘项的系数和 t 值都完全相同;
  • 对比模型 (3) 和模型 (4),除了常数项外,其他变量的系数和 t 值完全相同;
  • 模型 (2) 和模型 (3) 中的一阶项系数之间的关系。在两个模型中 x 的系数分别为 2.904 和 10.047。z 的样本均值为 zm = 0.955。因此,对于模型 (2) 而言,当 z 取其样本时,dy/dx (z=zm) = 2.904 + 7.479*zm = 2.904 + 7.479*0.955 = 10.046。这与第三列中由模型 (3) 估计出的 x 的系数 (10.047) 非常接近。期间的微小差别主要源于四舍五入。
  • 模型 (1) 和模型 (3) 中的一阶项系数之间的关系。 这是我们最关心的事情。由上面的分析可知,虽然模型 (1) 和 (2) 中 x 的系数存在很大差异,但 (1) 和 (3) 中 x 的系数应该比较接近。我们看到的结果也的确如此。

事实上,在很多论文中,通常会先估计 y = a + b*x, 而不是 y = a + b1*x + b2*z ,即本文的模型 (1)。如果 corr(x,z)=0,这两个模型中得到的 x 的系数不会有明显差异,但如果 x 和 z 彼此相关,则简化模型 y = a + b*x 就会存在遗漏变量的问题,其系数是有偏估计。感兴趣的读者,可以把上述模拟分析代码中的 local rhox = 0 修改为 local rhox = 0.5local rhox = -0.5 等数值,并在结果呈现部分也列示出 m0 的结果,看看系数估计值会发生哪些变化。

6. 结论和实操建议

  • 若只关心交乘项的系数,则使用模型 (1)-(3) 中的任何一种形式,都不影响系数的统计推断。
  • 若希望让加入交乘项前后一阶项的系数容易解释,也具有可比性,可以在论文中呈现模型 (1) 和模型 (3) 的结果。
  • 如果 x2 是一个虚拟变量,则无需做中心化处理,在论文中呈现模型 (1) 和模型 (2) 的结果即可,此时基于模型 (2) 进行分析反而更为直观。

参考资料

后续写作安排

  • 离差形式的系数含义图示,边际效应图示
  • 包含内生变量以及内生变量的交乘项的情形
  • 包含两个以上内生变量
  • 估计方法
    • IV
    • 2SLS
    • 控制函数法 (Control Function Approach, see Ebbes, Papies, van Heerde, 2016, pp.28 讲的非常清楚)
    • 潜工具变量法 (LIV, see Ebbes, Papies, van Heerde, 2016)  

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