不用太关心控制变量，真的！

发布时间：2020-07-29 阅读 21618

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作者： 刘琦(剑桥大学)
邮箱： ql301@cam.ac.uk

[source]: Hünermund P, Louw B. On the Nuisance of Control Variables in Regression Analysis[J]. arXiv preprint arXiv:2005.10314, 2020. -Link-

在回归分析中，我们经常会引入「控制变量」来更好的评估自变量和因变量之间的因果关系。在这篇文章中，我们认为控制变量本身是不具有因果解释的。因此，我们建议在实证研究论文的结果部分「不要讨论其边际效应」。

1. 引言

多元回归分析 (multivariate regression) 是战略管理和经济学实证研究中的重要工具。这种方法通过引入控制变量来缓解混杂变量对因果效应估计的干扰。尽管控制变量在因果推断中处在一个很重要的地位，但在实证研究中，学者经常夸大其作用。

在本文中，我们认为：虽然控制变量对于因果关系的识别至关重要，但其本身通常不具有结构性解释。即使是有效的控制变量，也常常会与其他未观察到 (或不能观测到) 的因素（unobserved factors）关联，从因果推断的角度来看，这使得它们的边际效应无法解释 (Westreich 和 Greenland，2013； Keele等，2020)。因此，研究人员应考虑在解释其分析结果时完全忽略它们。

然而，在研究中，从控制变量中得出实质性结论的现象很普遍，例如，「控制变量的影响符合预期」、「在结果中，我们的控制变量的结果值得注意」等表述。具体来看，我们对近五年来在 Strategic Management Journal 上使用参数回归模型的论文进行了分析，发现有近 47％的文章明确讨论了控制变量的估计效果。

此外，审稿人也经常会以「尽管这些控制变量并不是分析的主要重点，但他们仍然可以提供有价值的信息」为依据，要求论文作者提供控制变量系数的经济解释的情况。

2. 控制变量的结构性解释

Durand 和 Vaara (2009) 在战略管理的文献中，首次引入因果图进行实证研究的逻辑梳理，并且高度评价其作用。考虑到回归中解释变量与控制变量间关系的复杂性，接下来，我们将使用因果图进行描述分析 (Pearl，2000; Hünermund，Bareinboim 2019)。

图 a 给出了一个简单的有关处理变量 $X$ (treatment variable) 和结果变量 $Y$ (outcome variable) 的经济模型，并且两个变量之间的关系被箭头连接，用来表明两个因素之间的因果关系。此外， $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是两个可能会影响处理变量和结果变量的混杂因素，是相互关联的 (correlated)，并通过图中的虚线双向弧线来表示。同时， $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 这种相互关联的关系，也给处理变量和结果变量之间的关系提供了一个活动途径 (Pearl，2000)。因此， $X$ 和 $Y$ 不仅通过真正的因果路径 $X \to Y$ 连接，而且还通过第二条路径 $X \leftarrow Z 1$ ( $Z_{1}$ 对 $X$ 的因果关系)、 $Z_{2} \to Y$ ( $Z_{2}$ 对 $Y$ 的因果关系)、以及 $Z_{1} \leftarrow - \to Z_{2}$ ( $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 有相互关联的作用) 来连接，这会产生虚假的非因果关系。

在回归分析中，控制变量正好可以阻止此类活动 (backdoor) 的路径。故根据图 a，研究人员可以选择控制 $Z_{1}$ 或者 $Z_{2}$ (两者都可以被用来确定因果关系)以获得 $X$ 对 $Y$ 的无污染影响。

尽管如此，在控制 $Z_{1}$ 的情况下，其边际效应本身将不对应于 $Z_{1}$ 对 $Y$ 的任何因果效应。这主要是因为 $Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ 相关， $Z_{1}$ 将部分吸收 $Z_{2}$ 对 $Y$ 的因果影响 (Cinelli and Hazlett，2020)。

图 b 描绘了一个包含几组控制变量的更为复杂的示例，并且每组都足以确定 $X$ 对 $Y$ 的因果关系 (Textor 和 Liśkiewicz，2012)。在这种情况下：一种可能性是仅控制 $Z_{1}$ ，从而阻止所有通过后门进入 $X$ 的路径；第二种，控制 $Y$ 的直接影响因素 ( $Z_{3}$ 、 $Z_{4}$ 和 $Z_{5}$ )，这也将阻止所有后门路径；第三种选择是控制整个混杂因素 ( $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 、 $Z_{4}$ 和 $Z_{5}$ )，这将是最耗费数据的策略，并且由于自由度较低，将会导致估算值不精确。这个例子也说明了用于识别因果关系 $X$ 的控制变量组个数 (在此为 $Z_{1}$ )，通常小于一个模型中混杂变量的总数。同时，如果 $Y$ 的所有直接影响因素 (此处为 $Z_{3}$ 、 $Z_{4}$ 和 $Z_{5}$ ）在回归中都考虑到，则控制变量的估计可以得到一个结构性解释。但这又不太可能实现，因为在许多实际环境中，影响 $Y$ 的因素可能会很多。

3. 对实证研究分析的启示

对有偏差 (biased) 的控制变量系数的边际效应解释是存在问题的，研究人员可能会发现错误的结论，除非可以确定在回归分析中考虑了结果变量的所有相关影响因素 (all-causes regression)，否则不建议在实证研究中讨论控制变量的系数。同时，我们也建议仅将控制变量视为识别因果关系的干扰项，并不要在报告结果中展示 (Liang 和 Zeger，1995)。

我们对控制变量系数解释方式的建议也适用于非参数匹配估计 (Heckman 等，1998) 和现代机器学习，特别是高维设置 (Belloni 等，2014)。

简而言之，我们不需要过多的担心「控制变量的系数变化并没有预期的迹象」。因为在实际操作中控制变量的估计总是可能会产生偏差。相反，研究人员应该更加专注于解释主要变量的边际效应。相比之下，控制变量几乎没有实质性意义，我们可以放心地省略或只在附录中讨论。这样不仅会有效阻止研究人员从控制变量中得出错误的因果结论，而且还简化实证研究论文的讨论部分，并节省宝贵的资源用来讨论主要变量的经济效果。

参考文献

Hünermund P, Louw B. On the Nuisance of Control Variables in Regression Analysis[J]. arXiv preprint arXiv:2005.10314, 2020. -Link-
Westreich D, Greenland S. The table 2 fallacy: presenting and interpreting confounder and modifier coefficients[J]. American journal of epidemiology, 2013, 177(4): 292-298. -Link-
Keele L, Stevenson R T, Elwert F. The causal interpretation of estimated associations in regression models[J]. Political Science Research and Methods, 2020, 8(1): 1-13. -Link-
Durand R, Vaara E. Causation, counterfactuals, and competitive advantage[J]. Strategic Management Journal, 2009, 30(12): 1245-1264. -Link-
Pearl J. Models, reasoning and inference[J]. Cambridge, UK: CambridgeUniversityPress, 2000. -Link-
Hünermund P, Bareinboim E. Causal inference and data-fusion in econometrics[J]. arXiv preprint arXiv:1912.09104, 2019. -Link-
Cinelli C, Hazlett C. Making sense of sensitivity: Extending omitted variable bias[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2020, 82(1): 39-67. -Link-
Textor J, Liskiewicz M. Adjustment criteria in causal diagrams: An algorithmic perspective[J]. arXiv preprint arXiv:1202.3764, 2012. -Link-
Liang K Y, Zeger S L. Inference based on estimating functions in the presence of nuisance parameters[J]. Statistical Science, 1995, 10(2): 158-173. -Link-
Heckman J J, Ichimura H, Todd P. Matching as an econometric evaluation estimator[J]. The review of economic studies, 1998, 65(2): 261-294. -Link-
Belloni A, Chernozhukov V, Hansen C. High-dimensional methods and inference on structural and treatment effects[J]. Journal of Economic Perspectives, 2014, 28(2): 29-50. -Link-

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