图示线性回归系数:Frisch-Waugh定理与部分回归图

发布时间:2020-04-11 阅读 146

作者:胡雨霄 (伦敦政治经济学院);连玉君 (中山大学)  

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连享会 - Stata 暑期班

线上直播 9 天:2020.7.28-8.7
主讲嘉宾:连玉君 (中山大学) | 江艇 (中国人民大学)
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主要参考文献:

  • John Luke Gallup, 2019, Added-variable plots with confidence intervals, Stata Journal, 19(3): 598–614. [PDF]
  • John Luke Gallup, 2020, Added-variable plots for panel-data estimation, Stata Journal, 20(1): 30–50. [PDF]
  • Valerio Filoso, 2013, Regression Anatomy, Revealed, Stata Journal, 13(1): 92–106. [pdf]

主要命令:

  • avplot, avciplot, xtavplot
  • reganat (图形效果很好)

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目录



实证研究之初,研究者通常希望可以直观得观察变量 yx 的关系,并以此做出最初关于二者相关关系的基本预判。一个常用的命令是 twoway scatter。该命令允许绘制 yx 的散点图,借此研究者可以对二者关系产生较为直观的认识。然而,这种方式只能非常 粗糙 地描述二者的关系。其原因在于并没有控制其他变量的影响。

计量经济学中,我们认为其粗糙的原因在于遗漏变量偏差 (omitted variable bias)。在尚未控制其他变量影响的情况下,研究者无法断言两个变量相关性的存在,也无法进行量化分析。

而本篇推文介绍的命令 avplot avciplotxtavplot 则基于部分回归 (partial regression) 的计量原理,在控制了其他变量影响的情况下,允许研究者绘制部分回归图,观测变量 yx 的关系。

1. 部分回归:Frisch-Waugh Theorem

部分回归的基本思想是,当引入控制变量后,若想探究解释变量 x1 与被解释变量 y 的相关系数,那么就先 剔除 (partial out) 控制变量对 y 的影响和 剔除 控制变量对 x1 的影响,之后再让剩余部分的 y 对剩余部分的 x1 做回归。

1.1 计量原理

具体而言,假设线性回归方程为

β 为 K×1 的系数向量,ϵ 为 n×1 的残差向量。

OLS 估计量 b 满足下式

X 可以被分割为 X=[x1,X2],其中 X2=[x2,...,xk]。将 X 分割后,XX 可以进一步表示为

Xy 则可进一步表示为

将 (1)式和(2)式代入XXb=Xy 可以得到

由此可以得到两个式子

进一步推得

也就是说,

联想 OLS 估计量表达式 b=(XX1)Xy,其实 b2 可以理解为 yx1b1 对 X2 做回归 X2 的系数。

经过数学推导后,可以得到

其中, M2=(IX2(X2X2)1X2)

因为 M2 是对称 (symmetric) 且幂等 (idempotent) 的,因此 b1 可以重新写作

其中,ex1=M2x1ey=M2y。事实上,ey=M2y 是 y 对 X2 做回归后的残差的向量,而 ex1 是 x1 对 X2 做回归后的残差的向量。

ey 和 ex1 也可以被理解为是剔除了 X2 影响之后的 y 和 x1。因此,ey 与 ex1 的散点图即可反映当控制了 X2 之后, x1 与 y 的关系。

1.2 Stata 实现

接下来,我们用 Stata 进一步解释上述原理。

首先,引入数据,并进行基本回归。

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sysuse "auto.dta", clear //导入数据rename (price length weight) (Y X1 X2)reg Y X1 X2

其基本结果如下。

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      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74-------------+----------------------------------   F(2, 71)        =     18.91       Model |   220725280         2   110362640   Prob > F        =    0.0000    Residual |   414340116        71  5835776.28   R-squared       =    0.3476-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.3292       Total |   635065396        73  8699525.97   Root MSE        =    2415.7
------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------- X1 | -97.96031 39.1746 -2.50 0.015 -176.0722 -19.84838 X2 | 4.699065 1.122339 4.19 0.000 2.461184 6.936946 _cons | 10386.54 4308.159 2.41 0.019 1796.316 18976.76------------------------------------------------------------------------------

我们可以看到,X1 的系数为 -97.96031,标准误为 39.175。

接下来,我们利用 Frisch-Waugh Theorem 部分回归的原理展示 X1 系数是如何得到的。

第一步,剔除控制变量 X2y 的影响,并保存剩余部分的 y

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reg Y X2predict ey2, res 

第二步,剔除控制变量 X2X1 的影响,并保存剩余部分的 X1

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reg X1 X2predict e12, res

第三步,将剩余部分的 y 对剩余部分的 X1 做回归。

  • ounter(line
reg ey2 e12 

结果如下。我们可以看到 e12 的系数为 -97.96031,与执行 reg Y X1 X2X1 的系数一致。

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. reg ey2 e12 
Source | SS df MS Number of obs = 74-------------+---------------------------------- F(1, 72) = 6.34 Model | 36491343.3 1 36491343.3 Prob > F = 0.0140 Residual | 414340116 72 5754723.83 R-squared = 0.0809-------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.0682 Total | 450831459 73 6175773.41 Root MSE = 2398.9
------------------------------------------------------------------------------ ey2 | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------- e12 | -97.96031 38.9016 -2.52 0.014 -175.5092 -20.41139 _cons | 1.88e-12 278.8665 0.00 1.000 -555.9103 555.9103------------------------------------------------------------------------------

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2. 图示部分回归图: avplot 与 avplots 命令

avplot 可以实现在控制 X2 后,观测 y 与 X1 的关系。该命令的语句十分简洁:

  • ounter(line
 avplot indepvar [, avplot_options]

其中,

indepvar 是部分回归的解释变量

2.1 avplot 与 twoway scatter 异同分析

我们在第一部分介绍并用 Stata 展示了部分回归的基本原理。如果想利用 twoway scatter 命令绘制散点图展示 reg Y X1 X2 的结果,那么可以采用命令

  • ounter(line
twoway (scatter ey2 e12)(lfit ey2 e12)

结果如下

但是,运用 twoway scatter 直观展示回归结果并非效率之举,因为之前要先做回归,并保存结果。avplot 命令则可以一次实现上述操作。命令如下

  • ounter(line
  • ounter(line
reg Y X1 X2avplot X1

我们会发现两幅图别无二致,但 avplot 命令生成的散点图包含了更多与回归结果有关的信息,例如系数、标准误以及 t-统计量。

2.2 一个更为具体的例子

下面,以一个例子来解释在实证中如何运用 avplot 命令。

  • 数据的导入
  • ounter(line
use https://stats.idre.ucla.edu/stat/stata/webbooks/reg/crime

各变量的具体含义如下:

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. d
variable name type format label variable label------------------------------------------------------------------------------------------------------------sid float %9.0g state str3 %9s crime int %8.0g violent crime ratemurder float %9.0g murder ratepctmetro float %9.0g pct metropolitanpctwhite float %9.0g pct whitepcths float %9.0g pct hs graduatespoverty float %9.0g pct povertysingle float %9.0g pct single parent------------------------------------------------------------------------------------------------------------

我们可以看到,这个数据主要记录了不同州的犯罪率的相关资料。

数据结构如下

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. list in 1/10
+-------------------------------------------------------------------------------+ | sid state crime murder pctmetro pctwhite pcths poverty single | |-------------------------------------------------------------------------------| 1. | 1 ak 761 9 41.8 75.2 86.6 9.1 14.3 | 2. | 2 al 780 11.6 67.4 73.5 66.9 17.4 11.5 | 3. | 3 ar r593 10.2 44.7 82.9 66.3 20 10.7 | 4. | 4 az 715 8.6 84.7 88.6 78.7 15.4 12.1 | 5. | 5 ca 1078 13.1 96.7 79.3 76.2 18.2 12.5 | |-------------------------------------------------------------------------------| 6. | 6 co 567 5.8 81.8 92.5 84.4 9.9 12.1 | 7. | 7 ct 456 6.3 95.7 89 79.2 8.5 10.1 | 8. | 8 de 686 5 82.7 79.4 77.5 10.2 11.4 | 9. | 9 fl 1206 8.9 93 83.5 74.4 17.8 10.6 | 10. | 10 ga 723 11.4 67.7 70.8 70.9 13.5 13 | +-------------------------------------------------------------------------------+

利用这个数据,我们希望探究州犯罪率 (crime) 的影响因素。crime 是 100,000 人中罪犯的个数。直觉来看,我们认为大都市比例 (pctmetro),贫穷(poverty),以及单亲父母比例(single)都会影响所在州的犯罪率(crime)。

  • 绘制散点图

然后,我们绘制散点图直观观测解释变量与被解释变量的关系。

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scatter crime pctmetro, mlabel(state)scatter crime pctwhite, mlabel(state)scatter crime single, mlabel(state)
crime & pctmetropolitan
crime & pctmetropolitan

从这张图我们可以直观看出,一个州的大都市比例越高,那么犯罪率就越高。由此,我们预估,若将犯罪率 crime 对大都市比例 pctmetro 做回归,那么 pctmetro 的系数应该为正。

从这张图我们可以直观看出,一个州的贫穷人口比例越高,那么犯罪率就越高。由此,我们预估,若将犯罪率 crime 对贫穷人口比例 poverty 做回归,那么 poverty 的系数应该为正。

从这张图我们可以直观看出,一个州的单身父母比例越高,那么犯罪率就越高。由此,我们预估,若将犯罪率 crime 对单身父母比例 single 做回归,那么 single 的系数应该为正。

上述图表的绘制并未控制其他变量的影响,因此我们所得出的预估也只是粗糙的。比如,单身父母的产生可能源于较低的收入水平或者和生活地区条件有关。因此,如果控制了 poverty 以及 pctmetro 之后,crimesingle 的关系可能会发生变化。一个合理的猜想是,可能控制其他变量后,二者在图表中的相关性不会如此明显。

  • 回归分析

接下来,我们利用 reg 进行基本的回归分析。

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. regress crime pctmetro poverty single
Source | SS df MS Number of obs = 51-------------+---------------------------------- F(3, 47) = 82.16 Model | 8170480.21 3 2723493.4 Prob > F = 0.0000 Residual | 1557994.53 47 33148.8199 R-squared = 0.8399-------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.8296 Total | 9728474.75 50 194569.495 Root MSE = 182.07
------------------------------------------------------------------------------ crime | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------- pctmetro | 7.828935 1.254699 6.24 0.000 5.304806 10.35306 poverty | 17.68024 6.94093 2.55 0.014 3.716893 31.6436 single | 132.4081 15.50322 8.54 0.000 101.2196 163.5965 _cons | -1666.436 147.852 -11.27 0.000 -1963.876 -1368.996------------------------------------------------------------------------------

上图所展示的回归结果基本符合我们通过观察散点图所做出的预判。pctmetro 的系数为 7.829,并且在 1% 的显著性水平上显著。其经济学含义为,当大都市比例增加 1% 时,犯罪率会增加 0.00783%。poverty 的系数为 17.680,并且在 5% 的显著性水平上显著。

其经济学含义为,当贫穷人口所占比例增加 1% 时,犯罪率会增加 0.0177%。single 的系数为 132.408,并且在 1% 的显著性水平上显著。其经济学含义为,当单身父母的比例增加 1% 时,犯罪率会增加 0.132%。

  • 部分回归图

得到回归结果之后,我们绘制部分回归图,以期观测在控制其他变量后,犯罪率 crime 与各解释变量之间的关系。

  • ounter(line
avplot single, mlabel(state)

crimesingle 的部分回归图为例。我们可以看到,纵坐标为 crime 在控制其他变量 (povertypctmetro)之后的条件均值,而横坐标为控制其他变量(povertypctmetro)之后 single 的条件均值。

此外,我们可以发现,该表完美得展现了 crimesingle 部分回归的结果,不论是系数,标准误,或者 t-统计量,都与回归的结果完全一致。

我们再与散点图进行比较,可以发现,虽然基本趋势仍保持不变,但是散点图明显更为陡峭。这也说明之前的猜测是合理的。当控制其他变量后,直观来看,crimesingle 的相关性就不是那么明显了。

此处,介绍另一个好用的命令 avplots。该命令可以将不同的部分回归图合并为一张图表输出。如下,直接键入

  • ounter(line
avplots

我们可以得到下图。

这一张图输出了三张部分回归图。与 crimesingle 的部分回归图相同,crimepctmetro, poverty 的部分回归图分别完美展现了 crimepctmetro 以及 poverty 部分回归的结果。

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3. 带置信区间的部分回归图 avciplotavciplots

若希望绘制带置信区间的部分回归图,那么可以利用 avciplotavciplots 命令。该命令的基本语法与 avplot 以及 avciplots 基本一致,只是允许绘制置信区间。

  • 命令的安装
  • ounter(line
ssc install avciplot
  • 带置信区间的部分回归图

运行如下命令,我们即可得到一张包含三个部分回归图的汇总图表。而每个部分回归图还绘制了置信区间。

  • ounter(line
avplots

如上图所示,红色虚线之间的部分则为置信区间。

4. reganat 命令

Valerio Filoso, 2013, Regression Anatomy, Revealed, Stata Journal, 13(1): 92–106. [pdf]

reganat 命令在 Stata 官方命令 avplot 基础上做了不少改进,使之更适合呈现于论文中,选项也更为丰富。详情参见原文。这里,只简单展示其效果:

  • ounter(line
  • ounter(line
. sysuse auto, clear . reganat price weight length mpg foreign

默认情况下,会呈现所有解释变量的部分回归图:

若想只呈现某个变量的部分回归图,可以附加 dis() 选项,例如,我们可以只呈现变量 weight 的部分回归图:

  • ounter(line
. reganat price weight length mpg foreign, dis(weight) biline

效果如下:

若需对图形进行美化或调整,可以 help reganat 查看帮助文件。

5. 面板数据的部分回归图 xtavplot

John Luke Gallup, 2020, Added-variable plots for panel-data estimation, Stata Journal, 20(1): 30–50. [pdf]

处理面板数据时,我们需要考虑固定效应。因此,用 Stata 绘制面板数据的部分回归图时,我们选用的命令不同于上,而使用针对面板数据的命令,xtavplot。但其基本语句与 avplot 十分类似。由于是外部命令,可以先用 ssc install xtavplot, replace 命令下载最新版本的命令文件。

  • ounter(line
 xtavplot indepvar [, options]

其中,

  • indepvar 是部分回归的解释变量
  • generate (exvar eyvar) 允许对残差变量,也就是剔除控制变量影响后的变量,进行保存
  • ciunder 允许加入置信区间
  • ciplot() 允许特别设定置信区间的绘制方法

我们用 Stata 手册附带的 nlswork.dta 数据文件来演示 xtavplot 命令的使用方法:

  • ounter(line
webuse nlswork.dta, clear 

各变量的具体含义如下

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. dvariable name   type    format     label      variable label------------------------------------------------------------------------------------------------------------idcode          int     %8.0g                 NLS IDyear            byte    %8.0g                 interview yearbirth_yr        byte    %8.0g                 birth yearage             byte    %8.0g                 age in current yearrace            byte    %8.0g      racelbl    racemsp             byte    %8.0g                 1 if married, spouse presentnev_mar         byte    %8.0g                 1 if never marriedgrade           byte    %8.0g                 current grade completedcollgrad        byte    %8.0g                 1 if college graduatenot_smsa        byte    %8.0g                 1 if not SMSAc_city          byte    %8.0g                 1 if central citysouth           byte    %8.0g                 1 if southind_code        byte    %8.0g                 industry of employmentocc_code        byte    %8.0g                 occupationunion           byte    %8.0g                 1 if unionwks_ue          byte    %8.0g                 weeks unemployed last yearttl_exp         float   %9.0g                 total work experiencetenure          float   %9.0g                 job tenure, in yearshours           int     %8.0g                 usual hours workedwks_work        int     %8.0g                 weeks worked last yearln_wage         float   %9.0g                 ln(wage/GNP deflator)------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sorted by: idcode  year     Note: Dataset has changed since last saved.

我们可以看到该数据包含了受访者的基本个人信息,教育信息以及工作信息。数据结构如下。

  • 固定效应回归

我们希望探究工资与工作年限的关系,并利用固定效应模型进行回归分析。

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. xtreg ln_w ttl_exp age c.age#c.age not_smsa south, fe
Fixed-effects (within) regression Number of obs = 1,000Group variable: idcode Number of groups = 163
R-sq: Obs per group: within = 0.1679 min = 1 between = 0.2150 avg = 6.1 overall = 0.1843 max = 15
F(5,832) = 33.57corr(u_i, Xb) = 0.1188 Prob > F = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------ ln_wage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------- ttl_exp | .042675 .0055722 7.66 0.000 .0317377 .0536124 age | .0126192 .0131824 0.96 0.339 -.0132556 .0384939 | c.age#c.age | -.0003629 .0002166 -1.68 0.094 -.0007881 .0000623 | not_smsa | -.0487662 .0714594 -0.68 0.495 -.1890281 .0914957 south | -.0905245 .0997515 -0.91 0.364 -.2863187 .1052696 _cons | 1.535607 .1934652 7.94 0.000 1.15587 1.915345-------------+---------------------------------------------------------------- sigma_u | .34777879 sigma_e | .27590435 rho | .61373148 (fraction of variance due to u_i)------------------------------------------------------------------------------F test that all u_i=0: F(162, 832) = 7.55 Prob > F = 0.0000

在这个固定效应回归中,我们控制了年龄 (age),年龄的交互(c.age#c.age),非来自大都市的虚拟变量(not_smsa)以及来自南方的虚拟变量(south)。

回归结果如上所示。我们可以看到,工作年限(ttl_exp)的系数为 0.043,且在 1% 的显著性水平上显著。其经济学含义为,当工作年限增加 1 年时,工资增加 4.27%。这说明,工作年限与工资水平显著正向相关。

  • 部分回归图

下面,我们用 xtavplot 命令来绘制该面板数据的部分回归图。因为我们最关心的解释变量就工作年限(ttl_exp),因此绘制一张部分回归图即可。

  • ounter(line
xtavplot ttl_exp, ciunder

如上图所示。其纵轴为控制了其他控制变量后,ln(wage/GNP deflator) 的条件均值。其横轴为控制了其他控制变量后,total work experience 的条件均值。

红色实线为拟合的部分回归线。我们可以看到,其系数、标准误以及 t-统计量都与部分回归中 ttl_exp 的一致。

通过设置 ciunder,部分回归图可以加入置信区间,即为图中的红色虚线部分。

6. 总结

这篇推文介绍了如何在 Stata 中绘制部分回归图。具体而言,我们介绍了三个命令:avplotavciplot,以及 xtavplot

其它相关命令还包括:favplot, cprplot2, lprplot, reganat (该命令功能比较强大)。

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参考文献

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  • Gallup, J. L. (2019). Added-variable plots with confidence intervals. The Stata Journal, 19(3), 598–614. [PDF]
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  • Valerio Filoso, 2013, Regression Anatomy, Revealed, Stata Journal, 13(1): 92–106. [pdf]

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