Stata：边际处理效应及其可视化-mtefe-T309

发布时间：2021-08-13 阅读 3793

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作者：彭甲超 (中国地质大学)
邮箱：pengjiachao@cug.edu.cn

编者按：本文摘译自下文，特此致谢！ Source：Andresen M E. Exploring marginal treatment effects: Flexible estimation using Stata[J]. The Stata Journal, 2018, 18(1): 118-158. -PDF-

1. 简介

在经验研究中使用面板数据可以将个体之间的差异效应 (个体效应) 与个体内随时间变化的效应区分开。尽管时变效应和个体效应通常是不可观测，但它们又是数据异质性的重要部分。无论异质性的来源如何，尤其是当个体效应与模型中其他解释变量之间存在相关性时，无法控制的个体效应都可能使估计结果产生偏差。

为了解决大学教育由选择性动机导致的异质性回报问题，Heckman 等 (2006) 提出边际处理效应 (Marginal Treatment Effect，MTE) 方法。该方法基于广义 Roy 模型 (generalized Roy model) 估计大学教育回报率如何随着大学选择意愿的不同而变化。估计 MTE 的最常见方法是通过局部 IV 方法 (Heckman 和 Vytlacil，2007)，Brave 和 Walstrum (2014) 的 margte 命令可以灵活估计 MTE 并输出结果。

2. 理论背景

考虑广义 Roy 模型

Y_{j} = μ_{j} (X) + U_{j}, f o r j = 0, 1 (1)

Y = D Y_{1} + (1 - D) Y_{0} (2)

由于对于个体 $j$ 而言，上大学的处理效应无法直接观测，一般需要更多的样本来估计大学教育平均的处理效应 (ATE)，即 $E (Y_{1} - Y_{0} | X = x)$ 。然而，由于选择偏差的存在，通过估计处理组与非处理组之间平均的工资差异并不能准确给出大学教育的处理效应。由于方程式 $(2)$ 中的 $X$ 不一定与 $(U_{1}, U_{0})$ 相互独立，于是大学教育的处理效应为：

Y_{1} - Y_{0} = β = E [μ_{1} (X) - μ_{0} (X) + U_{1} - U_{0}]

在给定 $X = x$ 时，上大学的平均处理效应为：

\hat{β} (x) = E (β | X = x) = μ_{1} (X) - μ_{0} (X)

而那些已经选择了上大学的个体的大学教育平均处理效应为 (ATT) 为：

E (β | X = x, D = 1 = \hat{β} (x)) + E (U_{1} - U_{0} | X = x, D = 1)

为了解决由选择性导致的估计偏误，微观经济计量文献通常基于排除性约束工具变量法对处理效应进行估计。也就是找到一个工具变量 $z$ ，该工具变量不包含在 $X$ 中，并且与处理变量 $D$ 相互独立。在最简单的情形下，如果处理效应 $β$ 是一个常数，即对每一个个体而言，在给定 $X = x$ 时，每一个个体的处理效应应该是一样的，那么利用工具变量估计出来的 ATE 和 ATT 是一致的。另外，虽然处理效应存在异质性，但是在处理组个体和非处理组个体之间是完全随机分布的，在这种情况下，工具变量估计出来的 ATE 和 ATT 也是一样的。

然而在实践中在给定 $X = x$ 时往往取决于是否受到处理，这种情形被 Heckman 等 (2006) 称为根本的异质性。Heckman 等 (2010) 建议如果研究者关心的是 ATE 或者与政策相关的处理效应，在存在根本上的异质性时就不要使用传统的工具变量法进行参数估计。而为了识别处理效应并且与已有的关于处理效应的文献保持一致，Heckman 和 Vylacil (2005)、以及 Caneriro 等 (2011) 提出用一个标准的隐性变量离散选择模型来代表个体决定是否上大学。令 $I_{D}$ 代表个体上大学的净收益，该净收益取决于可观测到的变量 $Z$ 和不可观察到的变量 $V$ ：

I_{D} = μ_{D} (Z) - V (3)

这里当 $μ_{D} (Z) \geq V$ 时，个体选择上大学 $(D = 1)$ ；反之，当 $μ_{D} (Z) > V$ 时，个体选择不上大学 $(D = 0)$ 。方程式 $(1) - (3)$ 就构成了广义 Roy 模型。在该模型中， $(z, x)$ 是可以观测的，而 $(U_{0}, U_{1}, V)$ 是不可观测的。这里的 $Z$ 向量包含 $X$ 的部分或者全部变量，同时 $Z$ 向量也包含方程 $(1)$ 式中所不包含的变量，即排除性的工具变量。这里的 $V$ 被假定为连续的随机变量，其分布函数 $F_{V}$ 是严格单调递增的，且 $V$ 一般地取决于 $(U_{0}, U_{1})$ 。在给定 $X$ 条件下， $Z$ 与 $(U_{0}, U_{1}, V)$ 是相互独立。定义 $P (Z)$ 为个体在给定 $z$ 的条件下接受大学教育概率，即 $P (Z) = P r (D = 1 | Z) = F_{U_{D}} (.)$ ，这里的 $F_{U_{D}} (.)$ 表示在给定 $X$ 条件下 $U_{D}$ 的分布。由此定义 MTE：

\begin{aligned} M T E (x, u) & = E (Y_{1} - Y_{0} | X = x, U_{D} = u) \\ = \underset{h e t e r o g e n e i t y i n o b s e r v a b l e s}{\underset{⏟}{x (β_{1} - β_{0})}} + \underset{κ (u) : h e t e r o g e n e i t y i n u n o b s e r v a b l e s}{\underset{⏟}{E (U_{1} - U_{0} | U_{D} = u)}} (4) \end{aligned}

其意义为在给定个人的特征向量满足 $X = x$ 和 $U_{D} = u$ 时，个人接受大学教育的回报率。

边际处理效应有两个方面的明显优势：

一是可以对不同人群大学教育的异质性回报进行参数估计，即 MTE 可以估计大学回报率如何随着 $x$ 或者 $u_{D}$ 的不同而发生变化；
二是通过估计不同 $u_{1}$ 下的 MTE，有可能识别在任何一个边际上的大学教育回报率。Heckman 和 Vylacil (1999，2005，2007) 的研究表明所有的其他处理效应，包括 ATE、ATT 和 LATE 等，参数估计都可以表示成 MTE 不同的加权平均值。也就是说，如果内生性导致其他一些处理效应不能直接估计时，可以通过 MTE 对其他处理效应进行估计。

与现有实证文献一样，文章假定 $u_{D} (x)$ 和 $u_{D} (Z)$ 都是线性的，即 $u_{1} (X) = X α_{1}, u_{0} = X α_{0}, u_{D} (Z) = Z β$ 。在这种情况下：

E (Y | X = x, P (Z) = p) = X α_{0} + p x [α_{1} - α_{0}] + K (p) (5)

其中， $K (p) = E (U_{1} - U_{0} | D = 1, P (Z) = p)$ 。

现有的文献对 MTE 已经提出了多种估计方法：

一是极大似然估计。极大似然估计是一种参数估计方法，它假定 $(U_{0}, U_{1}, V)$ 满足联合正态分布，即 $(U_{0}, U_{1}, V)$ ~ $N (0, δ)$ 而且与 $(X, Z)$ 是相互独立的。遵循传统的离散选择模型，这里将 $V$ 的方差正则化为 1，于是：

\begin{aligned} MTE (x, u_{D}) & = x (α_{1} - α_{0}) + E (U_{1} - U_{0} ∣ U_{D} = u_{D}) \\ = x (α_{1} - α_{0}) + E (U_{1} - U_{0} ∣ V = Φ^{- 1} (u_{D})) \\ = x (α_{1} - α_{0}) + (σ_{1 v} - σ_{0 v}) Φ^{- 1} (u_{D}) \end{aligned} (6)

其中， $σ_{1 v} = Cov (U_{1}, V)$ ， $σ_{o v} = Cov (U_{o}, V)$ ， $Φ^{- 1} (\cdot)$ 是标准正态累积分布函数的逆。通过极大似然估计可以将参数 $(α_{1}, α_{0}, σ_{1 v}, σ_{0 v})$ 估计出来，然后将估计出来的参数代入中就可以对 MTE 进行估计。

二是多项式估计。Basu 等 (2007) 曾提出一种灵活的多项式近似方法对 $K (p)$ 进行模拟，即：

E (Y | X = x, P (Z) = p) = X α_{0} + p x [α_{1} - α_{0}] + \sum_{j = 1}^{k} δ_{j} p^{j} (7)

根据 OLS 可以对 $(α_{1}, α_{0}, δ_{j})$ 进行参数估计，然后代入 (7) 式，对 $p$ 进行求导即可得出 MTE 的估计值。

\hat{MTE} = x (\hat{α_{1}} - \hat{α_{0}}) + \sum_{j = 1}^{k} \hat{δ_{j}} j p^{j - 1} (8)

三是非参数估计。在 MTE 估计实践中，由于 $X$ 包含的变量很多，要想直接通过非参数方法对 MTE 进行估计是非常困难的。因此，在进行参数估计时，还需要增加一些假设条件，即 $(U_{0}, U_{1}, V)$ 与 $(X, Z)$ 是相互独立的，这一假设条件要强于 $(U_{0}, U_{1}, V) Z / X$ 。在这个假设前提下，MTE 在 $X$ 和 $u_{D}$ 上是加性可分的，这样可以通过半参数方法对 MTE 进行估计。

3. mtefe 命令

*命令安装
cnssc install lxhget, replace
lxhget t309.pkg, install replace
lxhget t309.pkg, replace

mtefe depvar [indepvars] (depvar_t = varlist_iv) [if] [in] [weight] [, 
      polynomial(#) splines(numlist) semiparametric restricted(varlist)
      link(string) separate mlikelihood trimsupport(#) fullsupport
      prte(varname) bootreps(#) norepeat1 vce(vcetype) level(#) degree(#)
      ybwidth(#) xbwidth(#) gridpoints(#) kernel(string) first second
      noplot omit(varlist) savefirst(string) savepropensity(newvar) savekp
      saveweights(string) mtexs(matrixlist)]

polynomail: 多项式估计，与之对应的通常为 normal；
splines: 仅适用与多项式估计模型；
semiparametric: 半参数估计；
restricted：指定变量同时包含在第一个和第二个阶段，但在两种阶段状态下具有相同的效果；
link: 使用不同模型来估计，包括probit，logit，或者 lpm 等；
separate: 使用单独方法拟合结果，否则默认为局部工具变量法拟合。
mlikelihood: 使用极大似然估计拟合结果，否则默认局部工具变量法拟合。

4. Stata 操作

4.1 范例数据生成

作者的示例主题主要是分析大学教育的工资回报问题。由于大学教育是内生的，能力较高的人在劳动力市场上做得更好，受过更多的教育；人们选择教育的部分原因是基于对自己从大学中获得的收益的了解。因此，在估计大学教育的工资回报效应时需要面对难以抉择水平和收益等问题。

传统的教育文献使用观测样本离大学的距离这一工具变量，但该工具变量仍有待考量。为修正该工具变量，文章假设某个地区到大学的平均距离与劳动力市场上的平均产出相关。例如，更多的农村劳动力市场可能会提供更差的平均就业机会，尤其是对应大学学历的工作。但是，如果这些差异在学区范围内起作用，则该工具在控制学区平均距离变化的学区固定效应的前提下有效。因此，距大学的距离之内的其余区域之内的变化是大学出勤的有效手段。在此背景下，作者模拟了相关数据，描述性结果如下:

. set seed 1234567
. mtefe_gendata, obs(10000) districts(10)
. summarize

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
    district |     10,000       5.526    2.833148          1         10
     distCol |     10,000    40.15583     10.4995   1.699695   79.81116
         exp |     10,000     15.0267    8.941173          0         30
        exp2 |     10,000    305.7383    276.8862          0        900
         col |     10,000       .4998     .500025          0          1
-------------+---------------------------------------------------------
       lwage |     10,000    3.667306     .836446   .2340348   6.625723

其中，lwage 表示收入的对数形式，distCol 为工具变量，具体指标解释请参阅 Andresen (2018)。

4.2 参数标准化局部工具变量估计

作者首先使用参数法估计，结果如下：

. mtefe lwage exp exp2 i.district (col=distCol)
. estimates store normal

Parametric normal MTE model                                  Obs. :     10,000
Treatment model: Probit
Estimation method: Local IV
------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
beta0        |
         exp |   .0358398   .0064408     5.56   0.000     .0232145    .0484651
        exp2 |  -.0008453   .0002019    -4.19   0.000    -.0012411   -.0004496
             |
    district |
          2  |   .2352456   .0680412     3.46   0.001     .1018712      .36862
          3  |   .6294914   .0701091     8.98   0.000     .4920634    .7669194
          4  |   .0131179   .0597721     0.22   0.826    -.1040474    .1302832
          5  |   .0338606   .0705835     0.48   0.631    -.1044974    .1722186
          6  |   .1699366   .0605086     2.81   0.005     .0513275    .2885458
          7  |  -.1899241    .060115    -3.16   0.002    -.3077617   -.0720865
          8  |  -.1842254   .0676843    -2.72   0.007    -.3169003   -.0515504
          9  |  -.7908301   .0578436   -13.67   0.000    -.9042153    -.677445
         10  |  -.4432749   .0597237    -7.42   0.000    -.5603455   -.3262044
             |
       _cons |   3.164706   .0650331    48.66   0.000     3.037228    3.292184
-------------+----------------------------------------------------------------
beta1-beta0  |
         exp |  -.0386384    .010241    -3.77   0.000    -.0587128    -.018564
        exp2 |   .0012967   .0003288     3.94   0.000     .0006523    .0019412
             |
    district |
          2  |    .265112    .107039     2.48   0.013     .0552939    .4749301
          3  |  -.5176346   .1077809    -4.80   0.000    -.7289069   -.3063623
          4  |  -.3915954   .1058642    -3.70   0.000    -.5991107   -.1840801
          5  |   .0673847    .107471     0.63   0.531    -.1432801    .2780495
          6  |  -.1207493   .1044501    -1.16   0.248    -.3254926     .083994
          7  |   .3108071   .1039006     2.99   0.003     .1071408    .5144733
          8  |   .4659728   .1076252     4.33   0.000     .2550056      .67694
          9  |   .4941665   .1075267     4.60   0.000     .2833925    .7049404
         10  |   .3143661   .1072555     2.93   0.003     .1041237    .5246085
             |
       _cons |   .4255863   .0983572     4.33   0.000     .2327863    .6183863
-------------+----------------------------------------------------------------
k            |
       mills |  -.4790282   .0611081    -7.84   0.000    -.5988124    -.359244
-------------+----------------------------------------------------------------
effects      |
         ate |   .3283373   .0242932    13.52   0.000     .2807177    .3759568
         att |   .5369432   .0388809    13.81   0.000     .4607287    .6131576
        atut |   .1195067   .0384691     3.11   0.002     .0440995     .194914
        late |   .3279726   .0245142    13.38   0.000     .2799198    .3760254
      mprte1 |   .3463148   .0256971    13.48   0.000     .2959433    .3966862
      mprte2 |   .3309428    .024298    13.62   0.000     .2833137    .3785719
      mprte3 |   -.016257   .0498984    -0.33   0.745    -.1140679    .0815538
------------------------------------------------------------------------------
Test of observable heterogeneity, p-value                               0.0000
Test of essential heterogeneity, p-value                                0.0000
------------------------------------------------------------------------------
Note: Analytical standard errors ignore the facts that the propensity score,
the mean of X and the treatment effect parameter weights are estimated objects
when calculating standard errors. Consider using bootreps() to bootstrap the 
standard errors.

mtefe 绘制个体估计倾向分数分布和 MTE 密度曲线。示例中的倾向得分图示处理组和控制组的倾向得分分布情况，可以看到处理组和控制组的倾向得分有较大范围的共同支撑集。本示例中的 MTE 呈向下倾斜，在开始时处理效果相对较高，最终在分布的右端降至负面。

4.3 参数多项式局部工具变量估计

接着，作者使用多项式估计相关结果：

. qui probit col distCol exp exp2 i.district
. generate temp=distCol
. replace distCol=40 if distCol>40
. predict double p_policy
. replace distCol=temp
. mtefe lwage exp exp2 i.district (col=distCol), pol(2) prte(p_policy)
. estimates store polynomial

Parametric polynomial MTE model                              Obs. :     10,000
Treatment model: Probit
Estimation method: Local IV
------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
beta0        |
         exp |   .0354803   .0064404     5.51   0.000     .0228558    .0481047
        exp2 |  -.0008357   .0002019    -4.14   0.000    -.0012315     -.00044
             |
    district |
          2  |   .2365711   .0680441     3.48   0.001     .1031909    .3699513
          3  |   .6319341   .0701157     9.01   0.000     .4944932    .7693749
          4  |   .0130924   .0597778     0.22   0.827     -.104084    .1302689
          5  |   .0364784   .0705884     0.52   0.605    -.1018892     .174846
          6  |   .1701521   .0605155     2.81   0.005     .0515295    .2887748
          7  |  -.1902319   .0601195    -3.16   0.002    -.3080782   -.0723856
          8  |  -.1819917   .0677087    -2.69   0.007    -.3147144   -.0492689
          9  |   -.793176   .0578571   -13.71   0.000    -.9065875   -.6797644
         10  |  -.4448738   .0597279    -7.45   0.000    -.5619525   -.3277951
             |
       _cons |   3.190907   .0660212    48.33   0.000     3.061492    3.320322
-------------+----------------------------------------------------------------
beta1-beta0  |
         exp |   -.038163   .0102356    -3.73   0.000    -.0582268   -.0180991
        exp2 |   .0012837   .0003287     3.91   0.000     .0006394    .0019281
             |
    district |
          2  |   .2634698    .107039     2.46   0.014     .0536518    .4732878
          3  |  -.5205257   .1077752    -4.83   0.000    -.7317869   -.3092645
          4  |  -.3913304   .1058763    -3.70   0.000    -.5988693   -.1837916
          5  |   .0643694   .1074588     0.60   0.549    -.1462714    .2750103
          6  |  -.1210701   .1044627    -1.16   0.246     -.325838    .0836979
          7  |   .3113951   .1039078     3.00   0.003     .1077149    .5150753
          8  |   .4629086   .1076572     4.30   0.000     .2518788    .6739383
          9  |   .4978603   .1075286     4.63   0.000     .2870825    .7086382
         10  |    .317057   .1072544     2.96   0.003     .1068168    .5272973
             |
       _cons |   .4013895   .1016755     3.95   0.000      .202085     .600694
-------------+----------------------------------------------------------------
k            |
          p1 |  -.6084944   1.081504    -0.56   0.574    -2.728461    1.511472
          p2 |  -.8451015   1.061658    -0.80   0.426    -2.926166    1.235963
-------------+----------------------------------------------------------------
effects      |
         ate |   .3083362   .0346509     8.90   0.000     .2404135    .3762589
         att |    .496455   .0448869    11.06   0.000     .4084675    .5844424
        atut |   .1200149   .0440538     2.72   0.006     .0336605    .2063693
        late |   .3233841   .0251822    12.84   0.000      .274022    .3727463
      mprte1 |   .3411777   .0262273    13.01   0.000      .289767    .3925884
      mprte2 |   .2928298   .0526579     5.56   0.000     .1896096      .39605
      mprte3 |  -.0051932   .0639154    -0.08   0.935    -.1304802    .1200938
        prte |   .6265658   .0410595    15.26   0.000     .5460808    .7070508
------------------------------------------------------------------------------
Test of observable heterogeneity, p-value                               0.0000
Test of essential heterogeneity, p-value                                0.0000
------------------------------------------------------------------------------
Note: Analytical standard errors ignore the facts that the propensity score,
the mean of X and the treatment effect parameter weights are estimated objects
when calculating standard errors. Consider using bootreps() to bootstrap the 
standard errors.

多项式估计的图示结果与标准化估计结果类似，其倾向得分分布与 MTE 密度曲线分布基本一致。

4.4 半参数局部工具变量估计

参数方法对 MTE 估计存在一定的局限性，MIE 假定 $(U_{0}, U_{1}, V)$ 满足联合正态分布，这一假设前提往往不能够得到满足，参数多项式估计结果通常随着多项式阶数的不同而出现较大的差异。Cameiro 等 (2011) 提出了一种更加稳健的半参数估计方法，即半参数局部工具变量 (locally instrmental varibe，LV) 方法来对 MTE 进行估计。相较于参数估计方法，半参数 LIV 方法被认为是更加灵活、更加稳健的估计方法。从目前较少量的 MTE 研究文献来看，研究者普遍认为半参数 LV 方法在 MTE 估计上具有独特的优势。

. mtefe lwage exp exp2 i.district (col=distCol), semiparametric gridpoints(100)
. estimates store semipar

Semiparametric MTE model                                     Obs. :     10,000
Treatment model: Probit
Estimation method: Local IV
------------------------------------------------------------------------------
       lwage |      Coef.
-------------+----------------------------------------------------------------
beta0        |
         exp |   .0356061
        exp2 |  -.0008382
             |
    district |
          2  |   .2362298
          3  |   .6321138
          4  |    .012498
          5  |   .0359078
          6  |   .1698399
          7  |  -.1903168
          8  |  -.1813472
          9  |  -.7932724
         10  |  -.4451391
-------------+----------------------------------------------------------------
beta1-beta0  |
         exp |  -.0383496
        exp2 |    .001288
             |
    district |
          2  |   .2641407
          3  |  -.5205788
          4  |  -.3901379
          5  |   .0653821
          6  |  -.1194752
          7  |   .3120027
          8  |   .4623971
          9  |   .4988572
         10  |   .3189203
-------------+----------------------------------------------------------------
effects      |
         ate |   .3038093
         att |   .5141665
        atut |   .0973168
        late |   .3114957
      mprte1 |   .3423103
      mprte2 |   .3104423
      mprte3 |  -.0123404
------------------------------------------------------------------------------
Note: Limited support. Regular, non-marginal treatment effect parameters (ATE, ATT,
ATUT, LATE and PRTE) cannot be estimated. Instead, reported parameters are 
rescaled so that the treatment effect parameters weights sum to 1 within support.

4.5 作图命令

以下是作者对几种不同边际处理效应的可视化结果：

标准化参数、多项式参数与半参数估计的 MTE 结果对比

. mtefeplot normal polynomial semipar, ///
     memory names("Normal" "Polynomial" "Semiparametric")

带有局部平均处理效应权重的 MTE 结果对比

. mtefeplot polynomial, late memory

边际处理效应估计的反事实结果 ( $Y_{0}, Y_{1}$ 对比)

. mtefeplot polynomial, separate memory

5. 结语

与传统的线性 IV 分析相反， MTE 揭示的是处理效果的分布。命令 mtefe 对现有边际效应估计的命令进行了许多改进，其中包括对固定效应、局部 IV 估计以及半参数和极大似然估计方法等支持。此外，mtefe 运行半参数模型时提高了速度，对相关图形输出作了较大改进。

6. 参考资料

Andresen M E. Exploring marginal treatment effects: Flexible estimation using Stata[J]. The Stata Journal, 2018, 18(1): 118-158. -PDF-
Basu A, Heckman J J, Navarro‐Lozano S, et al. Use of instrumental variables in the presence of heterogeneity and self‐selection: an application to treatments of breast cancer patients[J]. Health economics, 2007, 16(11): 1133-1157. -PDF-
Carneiro P, Heckman J J, Vytlacil E J. Estimating marginal returns to education[J]. American Economic Review, 2011, 101(6): 2754-81. -PDF-
Heckman J J, Vytlacil E J. Econometric evaluation of social programs, part II: Using the marginal treatment effect to organize alternative econometric estimators to evaluate social programs, and to forecast their effects in new environments[J]. Handbook of econometrics, 2007, 6: 4875-5143. -PDF
Heckman J J, Urzua S, Vytlacil E. Understanding instrumental variables in models with essential heterogeneity[J]. The Review of Economics and Statistics, 2006, 88(3): 389-432. -PDF-
Heckman J J, Vytlacil E. Structural equations, treatment effects, and econometric policy evaluation[J]. Econometrica, 2005, 73(3): 669-738. -PDF-
Heckman J J, Vytlacil E J. Local instrumental variables and latent variable models for identifying and bounding treatment effects[J]. Proceedings of the national Academy of Sciences, 1999, 96(8): 4730-4734. -PDF-
刘生龙, 郑世林. 谁从高等教育扩招中获益更多?——基于广义罗伊模型的实证证据[J]. 劳动经济研究, 2019, 7(03):3-28. -Link-

7. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 边际效应处理效应工具变量, m
安装最新版 lianxh 命令：
ssc install lianxh, replace

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